Exercices corrigés — Polynômes du second degré (Première)

la forme canonique est f(x) = a(x − α)² + β avec α = −b2a et β = f(α). Ici a = 3, b = 12, c = 7.
α = −122 × 3 = −2 et β = f(−2) = 3 × 4 + 12 × (−2) + 7 = 12 − 24 + 7 = −5.
Donc f(x) = 3(x + 2)² − 5. Vérification en développant : 3(x² + 4x + 4) − 5 = 3x² + 12x + 12 − 5 = 3x² + 12x + 7.
Comme (x + 2)² ≥ 0 et 3 > 0, on a f(x) ≥ −5 pour tout réel x, avec égalité seulement pour x = −2 : le minimum de f est −5, atteint en x = −2. La parabole est tournée vers le haut, de sommet (−2 ; −5).

on identifie les coefficients : a = 3, b = −7, c = 2. Le discriminant vaut Δ = b² − 4ac = (−7)² − 4 × 3 × 2 = 49 − 24 = 25.
Δ > 0 : l'équation a deux solutions réelles distinctes. √Δ = 5, donc x₁ = −b − √Δ2a = 7 − 56 = 13 et x₂ = 7 + 56 = 2. L'ensemble des solutions est {13 ; 2}.
Factorisation : f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) = 3(x − 13)(x − 2) = (3x − 1)(x − 2), en distribuant le facteur 3 dans la première parenthèse.
Vérification : (3x − 1)(x − 2) = 3x² − 6x − x + 2 = 3x² − 7x + 2. On contrôle aussi la somme des racines 13 + 2 = 73 = −ba et leur produit 23 = ca.