Polynômes du second degré — cours de Première
Trinôme et formes usuelles, Forme canonique, Parabole, sommet et variations, Équation du second degré et discriminant Lecture ≈ 6 min.
1. Trinôme et formes usuelles
Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur ℝ par
f(x) = ax2 + bx + c, avec a ≠ 0.
L'expression ax2 + bx + c est un trinôme. a, b et c sont ses coefficients.
| Forme | Écriture | Lecture privilégiée |
|---|---|---|
| développée | ax2 + bx + c | f(0) = c, calculs et discriminant |
| canonique | a(x − α)2 + β | sommet, axe et extremum |
| factorisée | a(x − x1)(x − x2) | racines et signe, lorsqu'elle existe sur ℝ |
2. Forme canonique
Tout trinôme f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, s'écrit de manière unique
f(x) = a(x − α)2 + β,
où α = −b2a et β = f(α). C'est la forme canonique.
Connaître la forme canonique, la reconnaître et choisir la forme adaptée à une question font partie des capacités attendues. Pour des expressions simples, on peut la retrouver en complétant un carré. La dérivation systématique ci-dessous explique la formule générale ; elle constitue un complément de méthode et ne doit pas être apprise comme une longue récitation.
On part de ax2 + bx + c et on factorise a dans les deux premiers termes :
a[x2 + (ba)x] + c.
Or x2 + (ba)x = [x + b2a]2 − b24a2. Ainsi :
f(x) = a[x + b2a]2 + c − b24a.
Comme x + b2a = x − α, on obtient la forme annoncée, avec β = c − b24a.
Mettre f(x) = 2x2 − 8x + 5 sous forme canonique.
- a = 2 et b = −8, donc α = −−82 × 2 = 2.
- β = f(2) = 2 × 4 − 8 × 2 + 5 = −3.
- Donc f(x) = 2(x − 2)2 − 3.
- Vérification : 2(x2 − 4x + 4) − 3 = 2x2 − 8x + 5.
3. Parabole, sommet et variations
La courbe représentative d'une fonction du second degré est une parabole de sommet S(α ; β) et d'axe de symétrie la droite d'équation x = α.
- Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut. f décroît sur ]−∞ ; α] puis croît sur [α ; +∞[ ; son minimum est β.
- Si a < 0, elle est tournée vers le bas. f croît sur ]−∞ ; α] puis décroît sur [α ; +∞[ ; son maximum est β.
Le carré (x − α)2 est toujours positif ou nul, et vaut 0 uniquement lorsque x = α. Si a > 0, alors a(x − α)2 ≥ 0 et f(x) ≥ β. Pour a < 0, l'inégalité est renversée. Le sens de variation de la distance au carré à α donne les variations de f.
Pour f(x) = −3(x + 1)2 + 12, on lit α = −1, β = 12 et a = −3. La fonction croît jusqu'à −1, puis décroît. Son maximum sur ℝ vaut 12, atteint pour x = −1.
4. Équation du second degré et discriminant
Le discriminant du trinôme ax2 + bx + c est le réel
Δ = b2 − 4ac.
- Si Δ > 0, l'équation a deux solutions réelles distinctes : x1 = −b − √Δ2a et x2 = −b + √Δ2a.
- Si Δ = 0, elle a une solution réelle double : x0 = −b2a.
- Si Δ < 0, elle n'a aucune solution réelle.
La forme canonique donne
f(x) = a[(x + b2a)2 − Δ4a2].
Résoudre f(x) = 0 revient donc à résoudre (x + b2a)2 = Δ4a2. Un carré ne peut pas être négatif : aucun résultat si Δ < 0 ; un résultat double si Δ = 0 ; deux résultats opposés autour de −b2a si Δ > 0. On retrouve les formules ci-dessus.
Résoudre 2x2 − 5x − 3 = 0.
- a = 2, b = −5 et c = −3.
- Δ = (−5)2 − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49.
- √Δ = 7. Donc x1 = 5 − 74 = −12 et x2 = 5 + 74 = 3.
- L'ensemble des solutions est S = {−12 ; 3}.
Pour x2 + 2x + 5 = 0, Δ = 22 − 4 × 1 × 5 = −16 < 0. L'équation n'a pas de solution dans ℝ. On n'utilise pas les nombres complexes en Première.
5. Factorisation et relations entre racines
- Si Δ > 0 : f(x) = a(x − x1)(x − x2).
- Si Δ = 0 : f(x) = a(x − x0)2.
- Si Δ < 0 : le trinôme ne se factorise pas en facteurs du premier degré à coefficients réels.
Lorsqu'un trinôme admet deux racines réelles x1 et x2 (éventuellement égales),
x1 + x2 = −ba et x1x2 = ca.
Démonstration : on développe a(x − x1)(x − x2) = ax2 − a(x1 + x2)x + ax1x2, puis on identifie les coefficients avec ax2 + bx + c.
Pour 3x2 − 11x + 6, on vérifie que 3 est une racine. Le produit des racines vaut ca = 2. La seconde racine vaut donc 23. La factorisation est 3(x − 3)(x − 23) = (x − 3)(3x − 2).
6. Signe d'un trinôme
- Si Δ > 0, avec x1 < x2, le trinôme est du signe de a sur ]−∞ ; x1[ et ]x2 ; +∞[, et du signe opposé entre les racines. Il s'annule aux racines.
- Si Δ = 0, il est du signe de a partout et s'annule seulement en x0.
- Si Δ < 0, il est strictement du signe de a sur ℝ.
Résoudre 2x2 − 5x − 3 ≤ 0.
Les racines trouvées plus haut sont −12 et 3, et a = 2 > 0. Le trinôme est négatif ou nul entre les racines. Ainsi S = [−12 ; 3].
| x | ]−∞ ; x1[ | x1 | ]x1 ; x2[ | x2 | ]x2 ; +∞[ |
|---|---|---|---|---|---|
| signe si a > 0 | + | 0 | − | 0 | + |
| signe si a < 0 | − | 0 | + | 0 | − |
7. Mise en équation et optimisation
On dispose de 40 m de clôture pour délimiter un rectangle. Quelle aire maximale peut-on obtenir ?
- Si une longueur vaut x mètres, l'autre vaut 20 − x, car 2x + 2y = 40. La contrainte est 0 < x < 20.
- L'aire vaut A(x) = x(20 − x) = −x2 + 20x.
- Forme canonique : A(x) = −(x − 10)2 + 100.
- Comme −(x − 10)2 ≤ 0, A(x) ≤ 100. L'aire maximale vaut 100 m2, pour x = 10.
- Le rectangle optimal est donc un carré de côté 10 m.
Déterminer les abscisses des points communs aux courbes y = x2 − 2x + 1 et y = 2x + 4.
Les ordonnées doivent être égales : x2 − 2x + 1 = 2x + 4, soit x2 − 4x − 3 = 0. Son discriminant vaut 16 + 12 = 28. Les solutions sont 4 − √282 = 2 − √7 et 2 + √7. On calcule ensuite les ordonnées dans l'une des deux expressions si les coordonnées complètes sont demandées.
8. Erreurs fréquentes
- Oublier le carré sur b ou les parenthèses pour un coefficient négatif : si b = −5, alors b2 = (−5)2 = 25.
- Écrire le dénominateur 2 au lieu de 2a dans la formule des racines.
- Conclure « une solution » lorsque Δ = 0 sans préciser qu'elle est double.
- Utiliser √Δ quand Δ < 0 dans ℝ.
- Dire que le trinôme est toujours positif quand a > 0 : s'il a deux racines, il est négatif entre elles.
- Résoudre un problème sans respecter le domaine concret : une longueur doit être positive.