Exercices corrigés — Polynômes du second degré (Première)

la forme canonique est f(x) = a(x − α)² + β avec α = −b2a et β = f(α). Ici a = 3, b = 12, c = 7.
α = −122 × 3 = −2 et β = f(−2) = 3 × 4 + 12 × (−2) + 7 = 12 − 24 + 7 = −5.
Donc f(x) = 3(x + 2)² − 5. Vérification en développant : 3(x² + 4x + 4) − 5 = 3x² + 12x + 12 − 5 = 3x² + 12x + 7.
Comme (x + 2)² ≥ 0 et 3 > 0, on a f(x) ≥ −5 pour tout réel x, avec égalité seulement pour x = −2 : le minimum de f est −5, atteint en x = −2. La parabole est tournée vers le haut, de sommet (−2 ; −5).

on identifie les coefficients : a = 3, b = −7, c = 2. Le discriminant vaut Δ = b² − 4ac = (−7)² − 4 × 3 × 2 = 49 − 24 = 25.
Δ > 0 : l'équation a deux solutions réelles distinctes. √Δ = 5, donc x₁ = −b − √Δ2a = 7 − 56 = 13 et x₂ = 7 + 56 = 2. L'ensemble des solutions est {13 ; 2}.
Factorisation : f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) = 3(x − 13)(x − 2) = (3x − 1)(x − 2), en distribuant le facteur 3 dans la première parenthèse.
Vérification : (3x − 1)(x − 2) = 3x² − 6x − x + 2 = 3x² − 7x + 2. On contrôle aussi la somme des racines 13 + 2 = 73 = −ba et leur produit 23 = ca.

a) a = 1, b = −6, c = 9 : Δ = 36 − 36 = 0. L'équation a une unique solution, dite double : x₀ = −b2a = 62 = 3. L'ensemble des solutions est {3}. On pouvait le voir directement : x² − 6x + 9 = (x − 3)², identité remarquable, et un carré est nul si et seulement si x − 3 = 0.
b) a = 2, b = 1, c = 4 : Δ = 1² − 4 × 2 × 4 = 1 − 32 = −31. Comme Δ < 0, l'équation n'a aucune solution réelle : l'ensemble des solutions est vide.
Interprétation graphique : la parabole de a) touche l'axe des abscisses en un seul point, (3 ; 0), qui est son sommet ; celle de b), tournée vers le haut avec un minimum strictement positif (β = 4 − 18 = 318), ne coupe jamais l'axe des abscisses.

a) α = −b2a = −82 × (−2) = −8−4 = 2 et β = f(2) = −8 + 16 − 3 = 5. Le sommet est S(2 ; 5) et l'axe de symétrie est la droite d'équation x = 2.
b) a = −2 < 0 : la parabole est tournée vers le bas. f est croissante sur ]−∞ ; 2] et décroissante sur [2 ; +∞[ ; son maximum est 5, atteint en 2. Forme canonique : f(x) = −2(x − 2)² + 5, qui confirme f(x) ≤ 5.
c) f(0) = −3 et f(4) = −32 + 32 − 3 = −3 : les deux images sont égales. C'est la symétrie de la parabole : 0 et 4 sont à la même distance de l'axe x = 2, donc ils ont la même image.
d) Δ = 8² − 4 × (−2) × (−3) = 64 − 24 = 40 > 0 : la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points, d'abscisses −8 ± √40−4 = 2 ± √102, soit environ 0,42 et 3,58. C'est cohérent : le maximum 5 est positif et la parabole descend vers −∞ des deux côtés.

on étudie le signe du trinôme x ↦ −x² + 5x − 6, avec a = −1, b = 5, c = −6. Δ = 25 − 4 × (−1) × (−6) = 25 − 24 = 1 > 0.
Racines : x₁ = −5 − 12 × (−1) = −6−2 = 3 et x₂ = −5 + 1−2 = 2. On les range : 2 < 3.
Règle du signe : un trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé entre elles. Ici a = −1 < 0, donc le trinôme est négatif sur ]−∞ ; 2[ et sur ]3 ; +∞[, nul en 2 et en 3, et positif sur ]2 ; 3[.

a) 2 × 4² − 5 × 4 − 12 = 32 − 20 − 12 = 0 : 4 est bien racine. Le produit des deux racines vaut ca = −122 = −6, donc l'autre racine est −64 = −32.
Contrôle avec la somme : 4 + (−32) = 52, et −ba = 52. Le trinôme se factorise en 2(x − 4)(x + 32) = (x − 4)(2x + 3).
b) Deux nombres de somme S = 7 et de produit P = 10 sont les racines de l'équation x² − Sx + P = 0, soit x² − 7x + 10 = 0 (car x₁ + x₂ = −ba et x₁x₂ = ca avec a = 1).
Δ = 49 − 40 = 9, √Δ = 3, d'où les racines 7 − 32 = 2 et 7 + 32 = 5. Les deux nombres sont 2 et 5 : 2 + 5 = 7 et 2 × 5 = 10.

le nombre de solutions dépend du signe du discriminant : Δ = (−4)² − 4 × 1 × m = 16 − 4m.
Deux solutions distinctes si et seulement si Δ > 0, soit 16 − 4m > 0, c'est-à-dire m < 4.
Si m = 4, Δ = 0 : l'équation x² − 4x + 4 = (x − 2)² = 0 a une unique solution, double, x = 2. Si m > 4, Δ < 0 : aucune solution réelle.
Interprétation : la parabole y = x² − 4x + m a pour sommet (2 ; m − 4). Elle coupe l'axe des abscisses en deux points quand son sommet est en dessous de l'axe (m < 4), le touche quand m = 4, et reste au-dessus quand m > 4. Exemple : pour m = 3, les solutions sont 1 et 3.

B est un trinôme avec a = −2 < 0 : sa courbe est une parabole tournée vers le bas, et le maximum est atteint au sommet, d'abscisse α = −242 × (−2) = 6. Cette valeur appartient bien à [0 ; 10].
B(6) = −2 × 36 + 24 × 6 − 40 = −72 + 144 − 40 = 32. Le bénéfice maximal est 32 centaines d'euros, soit 3 200 €, pour 6 dizaines, soit 60 objets par jour.
Rentabilité : on résout B(x) ≥ 0. Δ = 24² − 4 × (−2) × (−40) = 576 − 320 = 256, √Δ = 16 ; racines −24 − 16−4 = 10 et −24 + 16−4 = 2. Comme a < 0, le trinôme est positif entre ses racines : B(x) ≥ 0 pour x ∈ [2 ; 10].
L'entreprise est rentable lorsqu'elle produit entre 20 et 100 objets par jour ; en dessous de 20 objets, les coûts fixes l'emportent (B(0) = −40, soit une perte de 4 000 €). Sur le domaine [0 ; 10], la production de 100 objets donne un bénéfice nul.