Exercices corrigés — Polynômes du second degré (Première)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Challenge ». Voir les 8 exercices.

Exercice 7 Challenge

Pour quelles valeurs du réel m l'équation x² − 4x + m = 0 admet-elle deux solutions réelles distinctes ? Que se passe-t-il pour les autres valeurs de m ?

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Correction détaillée

le nombre de solutions dépend du signe du discriminant : Δ = (−4)² − 4 × 1 × m = 16 − 4m.
Deux solutions distinctes si et seulement si Δ > 0, soit 16 − 4m > 0, c'est-à-dire m < 4.
Si m = 4, Δ = 0 : l'équation x² − 4x + 4 = (x − 2)² = 0 a une unique solution, double, x = 2. Si m > 4, Δ < 0 : aucune solution réelle.
Interprétation : la parabole y = x² − 4x + m a pour sommet (2 ; m − 4). Elle coupe l'axe des abscisses en deux points quand son sommet est en dessous de l'axe (m < 4), le touche quand m = 4, et reste au-dessus quand m > 4. Exemple : pour m = 3, les solutions sont 1 et 3.

Exercice 8 Challenge

Le bénéfice journalier, en centaines d'euros, d'une entreprise qui fabrique x dizaines d'objets est B(x) = −2x² + 24x − 40, pour 0 ≤ x ≤ 10. Déterminer la production qui maximise le bénéfice, puis les productions pour lesquelles l'entreprise est rentable.

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Correction détaillée

B est un trinôme avec a = −2 < 0 : sa courbe est une parabole tournée vers le bas, et le maximum est atteint au sommet, d'abscisse α = −242 × (−2) = 6. Cette valeur appartient bien à [0 ; 10].
B(6) = −2 × 36 + 24 × 6 − 40 = −72 + 144 − 40 = 32. Le bénéfice maximal est 32 centaines d'euros, soit 3 200 €, pour 6 dizaines, soit 60 objets par jour.
Rentabilité : on résout B(x) ≥ 0. Δ = 24² − 4 × (−2) × (−40) = 576 − 320 = 256, √Δ = 16 ; racines −24 − 16−4 = 10 et −24 + 16−4 = 2. Comme a < 0, le trinôme est positif entre ses racines : B(x) ≥ 0 pour x ∈ [2 ; 10].
L'entreprise est rentable lorsqu'elle produit entre 20 et 100 objets par jour ; en dessous de 20 objets, les coûts fixes l'emportent (B(0) = −40, soit une perte de 4 000 €). Sur le domaine [0 ; 10], la production de 100 objets donne un bénéfice nul.

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