Exercices corrigés — Polynômes du second degré (Première)

a) a = 1, b = −6, c = 9 : Δ = 36 − 36 = 0. L'équation a une unique solution, dite double : x₀ = −b2a = 62 = 3. L'ensemble des solutions est {3}. On pouvait le voir directement : x² − 6x + 9 = (x − 3)², identité remarquable, et un carré est nul si et seulement si x − 3 = 0.
b) a = 2, b = 1, c = 4 : Δ = 1² − 4 × 2 × 4 = 1 − 32 = −31. Comme Δ < 0, l'équation n'a aucune solution réelle : l'ensemble des solutions est vide.
Interprétation graphique : la parabole de a) touche l'axe des abscisses en un seul point, (3 ; 0), qui est son sommet ; celle de b), tournée vers le haut avec un minimum strictement positif (β = 4 − 18 = 318), ne coupe jamais l'axe des abscisses.

a) α = −b2a = −82 × (−2) = −8−4 = 2 et β = f(2) = −8 + 16 − 3 = 5. Le sommet est S(2 ; 5) et l'axe de symétrie est la droite d'équation x = 2.
b) a = −2 < 0 : la parabole est tournée vers le bas. f est croissante sur ]−∞ ; 2] et décroissante sur [2 ; +∞[ ; son maximum est 5, atteint en 2. Forme canonique : f(x) = −2(x − 2)² + 5, qui confirme f(x) ≤ 5.
c) f(0) = −3 et f(4) = −32 + 32 − 3 = −3 : les deux images sont égales. C'est la symétrie de la parabole : 0 et 4 sont à la même distance de l'axe x = 2, donc ils ont la même image.
d) Δ = 8² − 4 × (−2) × (−3) = 64 − 24 = 40 > 0 : la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points, d'abscisses −8 ± √40−4 = 2 ± √102, soit environ 0,42 et 3,58. C'est cohérent : le maximum 5 est positif et la parabole descend vers −∞ des deux côtés.