Exercices corrigés — Nombre dérivé, tangente et calcul des dérivées (Première)

f est dérivable sur ]0 ; +∞[ avec f'(x) = −1x². Au point d'abscisse 2 : f(2) = 12 et f'(2) = −14.
Équation de la tangente : y = f'(2)(x − 2) + f(2) = −(14)(x − 2) + 12 = −x4 + 12 + 12 = −x4 + 1.
Vérification : pour x = 2, −24 + 1 = 12 = f(2), la droite passe bien par le point de contact. La pente négative traduit la décroissance de la fonction inverse.
Position : f(x) − (−x4 + 1) = 1x + x4 − 1 = 4 + x² − 4x4x = (x − 2)²/(4x) ≥ 0 pour x > 0 : sur ]0 ; +∞[, la courbe est au-dessus de sa tangente et ne la touche qu'au point de contact.

a) Le dénominateur x² + 1 ne s'annule jamais (il est supérieur ou égal à 1), donc g est définie et dérivable sur ℝ comme quotient de fonctions dérivables. Avec u = x, u' = 1, v = x² + 1, v' = 2x :
g'(x) = u'v − uv'v² = [1 × (x² + 1) − x × 2x]/(x² + 1)² = x² + 1 − 2x²x² + 1² = 1 − x²x² + 1².
b) La tangente est horizontale lorsque g'(x) = 0, c'est-à-dire 1 − x² = 0 (le dénominateur ne s'annule pas), soit x = 1 ou x = −1.
g(1) = 12 et g(−1) = −12 : les tangentes horizontales ont pour équations y = 12 (au point (1 ; 12)) et y = −12 (au point (−1 ; −12)). Le signe de g', celui de 1 − x², montre que ces points sont respectivement un maximum et un minimum de g : la courbe oscille entre −12 et 12.