Exercices corrigés — Nombre dérivé, tangente et calcul des dérivées (Première)

a) On dérive terme à terme avec (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ et la dérivée d'une constante nulle : 4 × 5x⁴ − 3 × 2x + 0 = 20x⁴ − 6x.
b) Produit uv avec u = x² + 1, u' = 2x, v = e^x, v' = e^x : (uv)' = u'v + uv' = 2xe^x + (x² + 1)e^x = (x² + 2x + 1)e^x = (x + 1)²e^x. La factorisation montre que cette dérivée est toujours positive ou nulle.
c) Quotient uv sur ℝ privé de −1, avec u = 2x + 3, u' = 2, v = x + 1, v' = 1 : (uv)' = u'v − uv'v² = [2(x + 1) − (2x + 3)]/(x + 1)² = 2x + 2 − 2x − 3x + 1² = −1x + 1².
Cette dérivée est strictement négative : la fonction est décroissante sur chacun des intervalles ]−∞ ; −1[ et ]−1 ; +∞[. Erreur à éviter : écrire (uv)' = u'/v', qui donnerait 2.

a) A est le point de contact d'abscisse 2 et d'ordonnée 1, donc f(2) = 1. f'(2) est le coefficient directeur de la tangente en A, calculé avec deux de ses points : 5 − 10 − 2 = 4−2 = −2. Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul : f'(−1) = 0.
b) Tangente en A : y = f'(2)(x − 2) + f(2) = −2(x − 2) + 1 = −2x + 5. Vérification : pour x = 0, on retrouve y = 5, l'ordonnée de B.
c) Tangente au point d'abscisse 4 : y = f'(4)(x − 4) + f(4) = 3(x − 4) + 2 = 3x − 10.
Retenir : f(a) se lit sur la courbe, f'(a) se lit sur la tangente (pente), et les deux interviennent dans l'équation y = f'(a)(x − a) + f(a). Les points utilisés pour la pente doivent être sur la tangente, pas nécessairement sur la courbe.