Nombre dérivé, tangente et calcul des dérivées — cours de Première
Taux de variation, Nombre dérivé, Tangente et approximation affine, Fonction dérivée et formules de base Lecture ≈ 6 min.
1. Taux de variation
Soit une fonction f définie sur un intervalle et deux réels distincts a et b. Le taux de variation de f entre a et b est
[f(b) − f(a)] / (b − a).
C'est le coefficient directeur de la droite sécante passant par A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)). En posant b = a + h, il s'écrit [f(a + h) − f(a)]/h, avec h ≠ 0.
Pour f(x) = x2, le taux de variation entre 2 et 2 + h vaut
[(2 + h)2 − 22]/h = 4 + 4h + h2 − 4h = 4 + h.
Lorsque h se rapproche de 0, ce taux se rapproche de 4.
2. Nombre dérivé
La fonction f est dérivable en a si le taux [f(a + h) − f(a)]/h se rapproche d'un nombre réel lorsque h se rapproche de 0. Ce nombre est le nombre dérivé de f en a, noté f'(a).
- Géométrique : f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
- Cinématique : si f(t) est une position, f'(t) est la vitesse instantanée à l'instant t.
- Économique : si f(x) est un coût, f'(x) mesure le coût marginal dans le modèle continu.
Pour f(x) = x2, en un réel a :
[(a + h)2 − a2]/h = 2ah + h2h = 2a + h.
Lorsque h se rapproche de 0, l'expression se rapproche de 2a. Donc f'(a) = 2a.
3. Tangente et approximation affine
Si f est dérivable en a, la tangente T à sa courbe au point A(a ; f(a)) a pour équation
y = f'(a)(x − a) + f(a).
Une droite de coefficient directeur m passant par A(a ; f(a)) vérifie la forme point-pente y − f(a) = m(x − a). Par définition, le coefficient directeur de la tangente en A est m = f'(a). En remplaçant m, on obtient y = f'(a)(x − a) + f(a).
- Calculer f(a), ordonnée du point de contact.
- Calculer f'(a), pente de la tangente.
- Remplacer dans la formule, puis éventuellement développer.
Soit f(x) = x2 − 3x + 1. Sa dérivée est f'(x) = 2x − 3. En a = 2, f(2) = −1 et f'(2) = 1. La tangente a donc pour équation y = 1(x − 2) − 1 = x − 3.
Près de a, on peut approcher f(a + h) par f(a) + h f'(a). Graphiquement, la courbe est localement proche de sa tangente.
Pour f(x) = √x, on verra que f'(4) = 14. Ainsi √4 + h ≈ 2 + h4 pour h petit. Avec h = 0,1 : √4,1 ≈ 2,025, proche de la valeur calculée.
4. Fonction dérivée et formules de base
Si f est dérivable en tout point d'un intervalle I, la fonction qui à x associe f'(x) est la fonction dérivée de f sur I.
| Fonction f(x) | Domaine de dérivabilité | Dérivée f'(x) |
|---|---|---|
| k constante | ℝ | 0 |
| x | ℝ | 1 |
| fonction constante 1 (cas n = 0) | ℝ | 0 |
| xn, n ∈ ℕ, n ≥ 1 | ℝ | nxn−1 |
| 1x = x−1 | ]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ | −1x2 |
| xn, n ∈ ℤ, n < 0 | tout intervalle ne contenant pas 0 | nxn−1 |
| √x | ]0 ; +∞[ | 12√x |
| ex | ℝ | ex |
| cos x (anticipation Terminale) | ℝ | −sin x |
| sin x (anticipation Terminale) | ℝ | cos x |
La formule (xn)' = nxn−1 est valable pour n entier non nul, sur ℝ si n > 0 et sur tout intervalle ne contenant pas 0 si n < 0. Le cas n = 0 se traite séparément comme la fonction constante 1, de dérivée nulle ; écrire formellement 0x−1 créerait à tort une difficulté en 0. Par exemple, (x−3)' = −3x−4 = −3x4.
Pour a ≠ 0 et h assez proche de 0 :
[(1a + h) − 1a]/h = [a − (a + h)]/[a(a + h)h] = −1/[a(a + h)].
Lorsque h se rapproche de 0, cela se rapproche de −1a2.
La fonction racine carrée est dérivable pour x > 0 et sa dérivée vaut 12√x. Elle n'est pas dérivable en 0 au sens usuel : pour h > 0, [√h − 0]/h = 1√h, qui devient arbitrairement grand quand h se rapproche de 0.
5. Opérations sur les dérivées
Sur un intervalle où les fonctions considérées sont dérivables :
- (u + v)' = u' + v' ;
- (ku)' = ku' pour une constante k ;
- (uv)' = u'v + uv' ;
- (uv)' = u'v − uv'v2, là où v ≠ 0 ;
- (1u)' = −u'/u2, sur tout intervalle où u est dérivable et ne s'annule pas ;
- [u(ax + b)]' = a u'(ax + b) pour les fonctions de référence étudiées.
La dernière ligne concerne uniquement la composition par une expression affine, telle que (ax + b)n ou eax+b. La règle générale de dérivation d'une composition est une anticipation de Terminale et n'est pas exigée ici.
On ajoute et retranche u(a + h)v(a) au numérateur :
[u(a + h)v(a + h) − u(a)v(a)]/h
= u(a + h)[v(a + h) − v(a)]/h + v(a)[u(a + h) − u(a)]/h.
En laissant h se rapprocher de 0, on obtient u(a)v'(a) + v(a)u'(a).
f(x) = (2x − 1)(x3 + 4). Posons u = 2x − 1 et v = x3 + 4. Alors u' = 2 et v' = 3x2. Donc
f'(x) = 2(x3 + 4) + (2x − 1)3x2 = 8x3 − 3x2 + 8.
g(x) = x2 + 1x − 2, définie sur ℝ \ {2}. Alors
g'(x) = [2x(x − 2) − (x2 + 1)]/(x − 2)2 = x2 − 4x − 1x − 22.
Pour h(x) = (3x − 5)4, la dérivée de la fonction extérieure X4 est 4X3, puis on multiplie par la dérivée 3 de 3x − 5 : h'(x) = 12(3x − 5)3.
6. Valeur absolue : un exemple de non-dérivabilité
La fonction f(x) = |x| est dérivable sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[, avec f'(x) = −1 si x < 0 et f'(x) = 1 si x > 0. Elle n'est pas dérivable en 0.
Le taux de variation entre 0 et h vaut |h|/h. Pour h > 0, il vaut 1 ; pour h < 0, il vaut −1. Les deux côtés ne se rapprochent pas du même nombre. La courbe présente un point anguleux en 0 : il n'existe pas de tangente unique de pente finie.
7. Lecture graphique
- Repérer le point A de la courbe d'abscisse a.
- Repérer deux points lisibles sur la tangente, pas nécessairement sur la courbe.
- Calculer le coefficient directeur : déplacement vertical / déplacement horizontal.
- Une tangente horizontale donne f'(a) = 0.
Une tangente passe par A(1 ; 3) et B(5 ; −1). Sa pente vaut −1 − 35 − 1 = −44 = −1. Si A est le point de contact d'abscisse 1, alors f(1) = 3 et f'(1) = −1. Son équation est y = −(x − 1) + 3 = −x + 4.
8. Erreurs fréquentes
- Confondre f'(a), qui est un nombre, et f', qui est une fonction.
- Oublier f(a) dans l'équation de la tangente.
- Écrire (uv)' = u'v' ou (uv)' = u'/v'.
- Oublier le carré du dénominateur dans la dérivée d'un quotient.
- Appliquer la dérivée de √x en 0 ; elle est valable pour x > 0.
- Affirmer que toute fonction continue est dérivable : |x| est continue en 0 mais non dérivable en 0.
- Oublier le facteur a dans [u(ax + b)]'.