Première · Fiche de révision

Nombre dérivé, tangente et calcul des dérivées — fiche résumé

L'essentiel du chapitre en une page : 15 points à retenir et 3 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.

À retenir

1. Taux de variation

Définition

Soit une fonction f définie sur un intervalle et deux réels distincts a et b. Le taux de variation de f entre a et b est

[f(b) − f(a)] / (b − a).

C'est le coefficient directeur de la droite sécante passant par A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)). En posant b = a + h, il s'écrit [f(a + h) − f(a)]/h, avec h ≠ 0.

2. Nombre dérivé

Définition

La fonction f est dérivable en a si le taux [f(a + h) − f(a)]/h se rapproche d'un nombre réel lorsque h se rapproche de 0. Ce nombre est le nombre dérivé de f en a, noté f'(a).

Interprétations

Géométrique : f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Cinématique : si f(t) est une position, f'(t) est la vitesse instantanée à l'instant t.
Économique : si f(x) est un coût, f'(x) mesure le coût marginal dans le modèle continu.

3. Tangente et approximation affine

Équation de la tangente

Si f est dérivable en a, la tangente T à sa courbe au point A(a ; f(a)) a pour équation

y = f'(a)(x − a) + f(a).

Démonstration de l'équation

Une droite de coefficient directeur m passant par A(a ; f(a)) vérifie la forme point-pente y − f(a) = m(x − a). Par définition, le coefficient directeur de la tangente en A est m = f'(a). En remplaçant m, on obtient y = f'(a)(x − a) + f(a).

Approximation affine locale

Près de a, on peut approcher f(a + h) par f(a) + h f'(a). Graphiquement, la courbe est localement proche de sa tangente.

4. Fonction dérivée et formules de base

Définition

Si f est dérivable en tout point d'un intervalle I, la fonction qui à x associe f'(x) est la fonction dérivée de f sur I.

Fonction f(x)	Domaine de dérivabilité	Dérivée f'(x)
k constante	ℝ	0
x	ℝ	1
fonction constante 1 (cas n = 0)	ℝ	0
xⁿ, n ∈ ℕ, n ≥ 1	ℝ	nxⁿ⁻¹
1x = x⁻¹	]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[	−1x²
xⁿ, n ∈ ℤ, n < 0	tout intervalle ne contenant pas 0	nxⁿ⁻¹
√x	]0 ; +∞[	12√x
e^x	ℝ	e^x
cos x (anticipation Terminale)	ℝ	−sin x
sin x (anticipation Terminale)	ℝ	cos x

Puissances entières

La formule (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ est valable pour n entier non nul, sur ℝ si n > 0 et sur tout intervalle ne contenant pas 0 si n < 0. Le cas n = 0 se traite séparément comme la fonction constante 1, de dérivée nulle ; écrire formellement 0x⁻¹ créerait à tort une difficulté en 0. Par exemple, (x⁻³)' = −3x⁻⁴ = −3x⁴.

Démonstration de la dérivée de l'inverse

Pour a ≠ 0 et h assez proche de 0 :

[(1a + h) − 1a]/h = [a − (a + h)]/[a(a + h)h] = −1/[a(a + h)].

Lorsque h se rapproche de 0, cela se rapproche de −1a².

Dérivée de la racine carrée et bord du domaine

La fonction racine carrée est dérivable pour x > 0 et sa dérivée vaut 12√x. Elle n'est pas dérivable en 0 au sens usuel : pour h > 0, [√h − 0]/h = 1√h, qui devient arbitrairement grand quand h se rapproche de 0.

5. Opérations sur les dérivées

Formules

Sur un intervalle où les fonctions considérées sont dérivables :

(u + v)' = u' + v' ;
(ku)' = ku' pour une constante k ;
(uv)' = u'v + uv' ;
(uv)' = u'v − uv'v², là où v ≠ 0 ;
(1u)' = −u'/u², sur tout intervalle où u est dérivable et ne s'annule pas ;
[u(ax + b)]' = a u'(ax + b) pour les fonctions de référence étudiées.

La dernière ligne concerne uniquement la composition par une expression affine, telle que (ax + b)ⁿ ou e^ax+b. La règle générale de dérivation d'une composition est une anticipation de Terminale et n'est pas exigée ici.

Démonstration de la formule du produit

On ajoute et retranche u(a + h)v(a) au numérateur :

[u(a + h)v(a + h) − u(a)v(a)]/h

= u(a + h)[v(a + h) − v(a)]/h + v(a)[u(a + h) − u(a)]/h.

En laissant h se rapprocher de 0, on obtient u(a)v'(a) + v(a)u'(a).

6. Valeur absolue : un exemple de non-dérivabilité

Résultat

La fonction f(x) = |x| est dérivable sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[, avec f'(x) = −1 si x < 0 et f'(x) = 1 si x > 0. Elle n'est pas dérivable en 0.

Démonstration en 0

Le taux de variation entre 0 et h vaut |h|/h. Pour h > 0, il vaut 1 ; pour h < 0, il vaut −1. Les deux côtés ne se rapprochent pas du même nombre. La courbe présente un point anguleux en 0 : il n'existe pas de tangente unique de pente finie.

Les méthodes

Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.

Méthode 1

Calculer f(a), ordonnée du point de contact.
Calculer f'(a), pente de la tangente.
Remplacer dans la formule, puis éventuellement développer.

Méthode 2Lire un nombre dérivé sur un graphique

Repérer le point A de la courbe d'abscisse a.
Repérer deux points lisibles sur la tangente, pas nécessairement sur la courbe.
Calculer le coefficient directeur : déplacement vertical / déplacement horizontal.
Une tangente horizontale donne f'(a) = 0.

Méthode 3À éviter

Confondre f'(a), qui est un nombre, et f', qui est une fonction.
Oublier f(a) dans l'équation de la tangente.
Écrire (uv)' = u'v' ou (uv)' = u'/v'.
Oublier le carré du dénominateur dans la dérivée d'un quotient.
Appliquer la dérivée de √x en 0 ; elle est valable pour x > 0.
Affirmer que toute fonction continue est dérivable : |x| est continue en 0 mais non dérivable en 0.
Oublier le facteur a dans [u(ax + b)]'.

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