Exercices corrigés — Nombre dérivé, tangente et calcul des dérivées (Première)

la formule (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ reste valable pour un exposant entier négatif, sur tout intervalle ne contenant pas 0 ; c'est le cas de ]0 ; +∞[.
(x⁻²)' = −2x⁻³ et (x⁻⁴)' = −4x⁻⁵. Donc g'(x) = 5 × (−2)x⁻³ − 3 × (−4)x⁻⁵ = −10x⁻³ + 12x⁻⁵.
Avec des fractions : g'(x) = −10x³ + 12x⁵. Attention au signe : dériver 5x² donne −10x³, et dériver −3x⁴ donne +12x⁵.
Vérification par une autre méthode : (1u)' = −u'/u² avec u = x² donne (1x²)' = −2x/x⁴ = −2x³, d'où le même résultat pour le premier terme.

la vitesse instantanée est la dérivée de la position par rapport au temps : v(t) = d'(t) = 6t² − 18t + 12.
À t = 2 : v(2) = 6 × 4 − 18 × 2 + 12 = 24 − 36 + 12 = 0 m/s. Le mobile est momentanément à l'arrêt à l'instant t = 2 s ; sa position est alors d(2) = 16 − 36 + 24 = 4 m.
La vitesse s'annule lorsque 6t² − 18t + 12 = 0, soit t² − 3t + 2 = 0, c'est-à-dire (t − 1)(t − 2) = 0 : aux instants t = 1 et t = 2.
Interprétation : entre t = 1 et t = 2, la vitesse est négative (par exemple v(1,5) = 13,5 − 27 + 12 = −1,5) : le mobile recule, de d(1) = 5 m à d(2) = 4 m, avant de repartir vers l'avant. Le signe de la dérivée donne le sens du mouvement.