Exercices corrigés — Nombre dérivé, tangente et calcul des dérivées (Première)

le taux de variation de f entre 3 et 3 + h (h ≠ 0) est [f(3 + h) − f(3)]/h.
f(3 + h) = 2(3 + h)² − (3 + h) = 2(9 + 6h + h²) − 3 − h = 18 + 12h + 2h² − 3 − h = 15 + 11h + 2h², et f(3) = 18 − 3 = 15.
Le taux vaut donc 15 + 11h + 2h² − 15h = 11h + 2h²h = 11 + 2h, après simplification par h ≠ 0.
Lorsque h se rapproche de 0, 11 + 2h se rapproche de 11 : f est dérivable en 3 et f'(3) = 11. Contrôle avec la formule : f'(x) = 4x − 1, donc f'(3) = 11. Géométriquement, la tangente à la parabole au point (3 ; 15) a pour pente 11.

a) f(9) = 3 et f'(x) = 12√x pour x > 0, donc f'(9) = 12 × 3 = 16. La tangente en 9 a pour équation y = f'(9)(x − 9) + f(9) = (16)(x − 9) + 3 = x6 + 32.
b) Au voisinage de 9, la courbe est proche de sa tangente : f(9 + h) ≈ f(9) + hf'(9) = 3 + h6. Avec h = 0,3 : √9,3 ≈ 3 + 0,36 = 3 + 0,05 = 3,05.
La calculatrice donne √9,3 ≈ 3,0496 : l'erreur est de 4 dix-millièmes. L'approximation est par excès : la courbe de la racine carrée est en dessous de ses tangentes (elle est concave), donc la tangente surestime légèrement.
Cette méthode donne des valeurs approchées rapides près d'un carré parfait ; elle se dégrade quand h grandit (pour √16 elle donnerait 3 + 76 ≈ 4,17 au lieu de 4).