Exercices corrigés — Nombre dérivé, tangente et calcul des dérivées (Première)

le taux de variation de f entre 3 et 3 + h (h ≠ 0) est [f(3 + h) − f(3)]/h.
f(3 + h) = 2(3 + h)² − (3 + h) = 2(9 + 6h + h²) − 3 − h = 18 + 12h + 2h² − 3 − h = 15 + 11h + 2h², et f(3) = 18 − 3 = 15.
Le taux vaut donc 15 + 11h + 2h² − 15h = 11h + 2h²h = 11 + 2h, après simplification par h ≠ 0.
Lorsque h se rapproche de 0, 11 + 2h se rapproche de 11 : f est dérivable en 3 et f'(3) = 11. Contrôle avec la formule : f'(x) = 4x − 1, donc f'(3) = 11. Géométriquement, la tangente à la parabole au point (3 ; 15) a pour pente 11.

a) f(9) = 3 et f'(x) = 12√x pour x > 0, donc f'(9) = 12 × 3 = 16. La tangente en 9 a pour équation y = f'(9)(x − 9) + f(9) = (16)(x − 9) + 3 = x6 + 32.
b) Au voisinage de 9, la courbe est proche de sa tangente : f(9 + h) ≈ f(9) + hf'(9) = 3 + h6. Avec h = 0,3 : √9,3 ≈ 3 + 0,36 = 3 + 0,05 = 3,05.
La calculatrice donne √9,3 ≈ 3,0496 : l'erreur est de 4 dix-millièmes. L'approximation est par excès : la courbe de la racine carrée est en dessous de ses tangentes (elle est concave), donc la tangente surestime légèrement.
Cette méthode donne des valeurs approchées rapides près d'un carré parfait ; elle se dégrade quand h grandit (pour √16 elle donnerait 3 + 76 ≈ 4,17 au lieu de 4).

a) On dérive terme à terme avec (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ et la dérivée d'une constante nulle : 4 × 5x⁴ − 3 × 2x + 0 = 20x⁴ − 6x.
b) Produit uv avec u = x² + 1, u' = 2x, v = e^x, v' = e^x : (uv)' = u'v + uv' = 2xe^x + (x² + 1)e^x = (x² + 2x + 1)e^x = (x + 1)²e^x. La factorisation montre que cette dérivée est toujours positive ou nulle.
c) Quotient uv sur ℝ privé de −1, avec u = 2x + 3, u' = 2, v = x + 1, v' = 1 : (uv)' = u'v − uv'v² = [2(x + 1) − (2x + 3)]/(x + 1)² = 2x + 2 − 2x − 3x + 1² = −1x + 1².
Cette dérivée est strictement négative : la fonction est décroissante sur chacun des intervalles ]−∞ ; −1[ et ]−1 ; +∞[. Erreur à éviter : écrire (uv)' = u'/v', qui donnerait 2.

a) A est le point de contact d'abscisse 2 et d'ordonnée 1, donc f(2) = 1. f'(2) est le coefficient directeur de la tangente en A, calculé avec deux de ses points : 5 − 10 − 2 = 4−2 = −2. Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul : f'(−1) = 0.
b) Tangente en A : y = f'(2)(x − 2) + f(2) = −2(x − 2) + 1 = −2x + 5. Vérification : pour x = 0, on retrouve y = 5, l'ordonnée de B.
c) Tangente au point d'abscisse 4 : y = f'(4)(x − 4) + f(4) = 3(x − 4) + 2 = 3x − 10.
Retenir : f(a) se lit sur la courbe, f'(a) se lit sur la tangente (pente), et les deux interviennent dans l'équation y = f'(a)(x − a) + f(a). Les points utilisés pour la pente doivent être sur la tangente, pas nécessairement sur la courbe.

f est dérivable sur ]0 ; +∞[ avec f'(x) = −1x². Au point d'abscisse 2 : f(2) = 12 et f'(2) = −14.
Équation de la tangente : y = f'(2)(x − 2) + f(2) = −(14)(x − 2) + 12 = −x4 + 12 + 12 = −x4 + 1.
Vérification : pour x = 2, −24 + 1 = 12 = f(2), la droite passe bien par le point de contact. La pente négative traduit la décroissance de la fonction inverse.
Position : f(x) − (−x4 + 1) = 1x + x4 − 1 = 4 + x² − 4x4x = (x − 2)²/(4x) ≥ 0 pour x > 0 : sur ]0 ; +∞[, la courbe est au-dessus de sa tangente et ne la touche qu'au point de contact.

a) Le dénominateur x² + 1 ne s'annule jamais (il est supérieur ou égal à 1), donc g est définie et dérivable sur ℝ comme quotient de fonctions dérivables. Avec u = x, u' = 1, v = x² + 1, v' = 2x :
g'(x) = u'v − uv'v² = [1 × (x² + 1) − x × 2x]/(x² + 1)² = x² + 1 − 2x²x² + 1² = 1 − x²x² + 1².
b) La tangente est horizontale lorsque g'(x) = 0, c'est-à-dire 1 − x² = 0 (le dénominateur ne s'annule pas), soit x = 1 ou x = −1.
g(1) = 12 et g(−1) = −12 : les tangentes horizontales ont pour équations y = 12 (au point (1 ; 12)) et y = −12 (au point (−1 ; −12)). Le signe de g', celui de 1 − x², montre que ces points sont respectivement un maximum et un minimum de g : la courbe oscille entre −12 et 12.

la formule (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ reste valable pour un exposant entier négatif, sur tout intervalle ne contenant pas 0 ; c'est le cas de ]0 ; +∞[.
(x⁻²)' = −2x⁻³ et (x⁻⁴)' = −4x⁻⁵. Donc g'(x) = 5 × (−2)x⁻³ − 3 × (−4)x⁻⁵ = −10x⁻³ + 12x⁻⁵.
Avec des fractions : g'(x) = −10x³ + 12x⁵. Attention au signe : dériver 5x² donne −10x³, et dériver −3x⁴ donne +12x⁵.
Vérification par une autre méthode : (1u)' = −u'/u² avec u = x² donne (1x²)' = −2x/x⁴ = −2x³, d'où le même résultat pour le premier terme.

la vitesse instantanée est la dérivée de la position par rapport au temps : v(t) = d'(t) = 6t² − 18t + 12.
À t = 2 : v(2) = 6 × 4 − 18 × 2 + 12 = 24 − 36 + 12 = 0 m/s. Le mobile est momentanément à l'arrêt à l'instant t = 2 s ; sa position est alors d(2) = 16 − 36 + 24 = 4 m.
La vitesse s'annule lorsque 6t² − 18t + 12 = 0, soit t² − 3t + 2 = 0, c'est-à-dire (t − 1)(t − 2) = 0 : aux instants t = 1 et t = 2.
Interprétation : entre t = 1 et t = 2, la vitesse est négative (par exemple v(1,5) = 13,5 − 27 + 12 = −1,5) : le mobile recule, de d(1) = 5 m à d(2) = 4 m, avant de repartir vers l'avant. Le signe de la dérivée donne le sens du mouvement.