Exercices corrigés — Logique, ensembles et raisonnement (Première)

l'implication « x = 3 ⇒ x² = 9 » est vraie : si x = 3, alors x² = 3² = 9, par simple remplacement.
Sa réciproque est « x² = 9 ⇒ x = 3 ». Elle est fausse : x = −3 vérifie x² = 9 sans vérifier x = 3. Un seul contre-exemple suffit pour établir qu'une implication est fausse.
Comme la réciproque est fausse, il n'y a pas d'équivalence entre x = 3 et x² = 9. L'équivalence correcte est : x² = 9 ⇔ (x = 3 ou x = −3).
Vocabulaire : x = 3 est une condition suffisante pour que x² = 9, mais pas une condition nécessaire.

soit n un entier impair. Par définition, il existe un entier k tel que n = 2k + 1.
Alors n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1, d'après l'identité (a + b)² = a² + 2ab + b².
On factorise 2 dans les deux premiers termes : n² = 2(2k² + 2k) + 1. Le nombre m = 2k² + 2k est un entier, donc n² = 2m + 1 est impair.
Conclusion : le carré de tout entier impair est impair. La démonstration est directe : on part de l'hypothèse (n impair), on la traduit par sa définition, et l'on arrive à la conclusion par le calcul. Exemple : 7 = 2 × 3 + 1 et 49 = 2 × 24 + 1.