Logique, ensembles et raisonnement — cours de Première
Ensembles de nombres et appartenance, Intervalles de ℝ, Propositions, négation et connecteurs, Implication, réciproque et équivalence Lecture ≈ 7 min.
1. Ensembles de nombres et appartenance
- ℕ est l'ensemble des entiers naturels : 0, 1, 2, ...
- ℤ est l'ensemble des entiers relatifs : ..., −2, −1, 0, 1, 2, ...
- ℚ est l'ensemble des rationnels, nombres qui s'écrivent pq avec p ∈ ℤ et q ∈ ℤ, q ≠ 0.
- ℝ est l'ensemble des nombres réels, représentés sur une droite graduée. Il contient notamment √2 et π, qui ne sont pas rationnels.
On a les inclusions ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. La notation x ∈ E signifie « x appartient à E » et x ∉ E signifie le contraire.
−3 ∈ ℤ et donc −3 ∈ ℚ ; 27 ∈ ℚ mais 27 ∉ ℤ ; √9 = 3 ∈ ℕ. Attention : le nombre dépend de sa valeur, pas de la forme sous laquelle il est écrit.
On dit que A est un sous-ensemble de E, ou une partie de E, lorsque tout élément de A appartient à E ; on note A ⊂ E. L'ensemble vide, noté ∅, ne contient aucun élément et est inclus dans tout ensemble. Si E est fini, son cardinal, noté Card(E), est son nombre d'éléments.
Exemple : si E = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, alors A = {2 ; 4} vérifie A ⊂ E et Card(A) = 2. On distingue bien 2 ∈ A de A ⊂ E.
Un couple (x ; y) est ordonné : en général (x ; y) ≠ (y ; x). Le produit cartésien A × B est l'ensemble des couples dont le premier élément appartient à A et le second à B :
A × B = {(x ; y) tels que x ∈ A et y ∈ B}.
Si A = {1 ; 2} et B = {a ; b ; c}, alors Card(A × B) = 2 × 3 = 6. Un repère identifie le plan à ℝ × ℝ.
2. Intervalles de ℝ
Un intervalle rassemble tous les réels situés entre une ou deux bornes.
| Condition | Intervalle | Statut des bornes |
|---|---|---|
| a ≤ x ≤ b | [a ; b] | a et b inclus |
| a < x < b | ]a ; b[ | a et b exclus |
| a ≤ x < b | [a ; b[ | a inclus, b exclu |
| x ≥ a | [a ; +∞[ | +∞ n'est jamais inclus |
| x < b | ]−∞ ; b[ | −∞ et b exclus |
L'intersection A ∩ B contient les éléments appartenant à la fois à A et à B. L'union A ∪ B contient les éléments appartenant à A ou à B, éventuellement aux deux. Dans un univers Ω, le complémentaire de A, noté Ā ou Ω \ A, contient les éléments qui ne sont pas dans A.
Soit I = [−2 ; 4] et J = ]1 ; 7[.
- Pour appartenir aux deux intervalles, il faut être strictement supérieur à 1 et inférieur ou égal à 4 : I ∩ J = ]1 ; 4].
- Les deux intervalles se recouvrent ; leur réunion va de −2 inclus à 7 exclu : I ∪ J = [−2 ; 7[.
3. Propositions, négation et connecteurs
Une proposition est une phrase mathématique qui est soit vraie, soit fausse. La négation de P, notée « non P », a la valeur de vérité opposée. Les connecteurs « et » et « ou » combinent deux propositions. En mathématiques, « P ou Q » est inclusif : au moins l'une est vraie, et elles peuvent l'être toutes les deux.
| P | Q | P et Q | P ou Q |
|---|---|---|---|
| vraie | vraie | vraie | vraie |
| vraie | fausse | fausse | vraie |
| fausse | vraie | fausse | vraie |
| fausse | fausse | fausse | fausse |
- La négation de « x ≥ 3 » est « x < 3 ».
- La négation de « P et Q » est « non P ou non Q ».
- La négation de « P ou Q » est « non P et non Q ».
- La négation de « pour tout x, P(x) » est « il existe au moins un x tel que non P(x) ».
- La négation de « il existe x tel que P(x) » est « pour tout x, non P(x) ».
La négation de « tous les élèves ont obtenu au moins 10 » est « au moins un élève a obtenu strictement moins de 10 ». Dire « aucun élève n'a obtenu au moins 10 » serait beaucoup trop fort.
4. Implication, réciproque et équivalence
L'implication P ⇒ Q signifie : « si P est vraie, alors Q est vraie ». P est une condition suffisante de Q ; Q est une condition nécessaire de P. La réciproque est Q ⇒ P. L'équivalence P ⇔ Q signifie que les deux implications P ⇒ Q et Q ⇒ P sont vraies.
Pour un entier n, « n est multiple de 4 » implique « n est pair ». La réciproque est fausse : 6 est pair mais n'est pas multiple de 4. En revanche, « n est pair » équivaut à « il existe k ∈ ℤ tel que n = 2k ».
L'implication P ⇒ Q est logiquement équivalente à sa contraposée « non Q ⇒ non P ». Elle n'est pas équivalente à sa réciproque.
Montrons : si n2 est impair, alors n est impair. Sa contraposée est : si n est pair, alors n2 est pair. Si n = 2k, alors n2 = 4k2 = 2(2k2), qui est pair. La contraposée étant démontrée, l'implication initiale l'est aussi.
5. Types de raisonnement
- Raisonnement direct : partir des hypothèses et appliquer des résultats connus jusqu'à la conclusion.
- Disjonction de cas : traiter séparément plusieurs situations qui couvrent tous les cas possibles.
- Contraposée : démontrer non Q ⇒ non P à la place de P ⇒ Q.
- Raisonnement par l'absurde : supposer le contraire de la conclusion, puis obtenir une contradiction.
- Contre-exemple : un seul cas qui ne vérifie pas une affirmation universelle suffit à la réfuter.
Montrons que, pour tout réel x, |x| ≥ x.
- Si x ≥ 0, alors |x| = x, donc l'inégalité est vraie.
- Si x < 0, alors |x| = −x. Or −x > 0 > x, donc |x| > x.
Les deux cas couvrent ℝ ; la propriété est démontrée.
6. Calcul algébrique utile toute l'année
- Une variable peut prendre différentes valeurs dans un ensemble donné ; dans f(x), x est la variable.
- Une inconnue est une valeur à déterminer pour rendre une équation vraie.
- Un paramètre est une lettre considérée comme fixée pendant une résolution, mais dont la valeur peut faire varier le problème.
- Une identité est vraie pour toutes les valeurs autorisées, par exemple (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
- Une équation n'est vraie que pour certaines valeurs de l'inconnue, appelées solutions. Elle doit toujours être accompagnée de son domaine.
Dans x2 + mx + 1 = 0, x est l'inconnue et m un paramètre : l'ensemble des solutions dépend de m.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a − b)(a + b) = a2 − b2
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Ainsi (x − 2)(3x + 5) = 0 équivaut à x − 2 = 0 ou 3x + 5 = 0, d'où x = 2 ou x = −53.
- Déterminer les zéros du numérateur et les valeurs interdites du dénominateur.
- Étudier le signe de chaque facteur.
- Combiner les signes dans un tableau ; exclure toujours les valeurs interdites.
7. Erreurs fréquentes
- Confondre ∈ et ⊂ : 2 ∈ ℕ, tandis que ℕ ⊂ ℝ.
- Inclure l'infini dans un intervalle : on écrit toujours un crochet ouvert du côté de ±∞.
- Prendre la réciproque pour l'implication initiale.
- Prouver une propriété générale avec quelques exemples : des exemples illustrent, ils ne démontrent pas.
- Diviser une équation par une expression pouvant être nulle sans traiter ce cas.
- Écrire √x2 = x pour tout réel : la bonne égalité est √x2 = |x|.