Logique, ensembles et raisonnement — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 12 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Ensembles de nombres et appartenance
Définitions
- ℕ est l'ensemble des entiers naturels : 0, 1, 2, ...
- ℤ est l'ensemble des entiers relatifs : ..., −2, −1, 0, 1, 2, ...
- ℚ est l'ensemble des rationnels, nombres qui s'écrivent pq avec p ∈ ℤ et q ∈ ℤ, q ≠ 0.
- ℝ est l'ensemble des nombres réels, représentés sur une droite graduée. Il contient notamment √2 et π, qui ne sont pas rationnels.
On a les inclusions ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. La notation x ∈ E signifie « x appartient à E » et x ∉ E signifie le contraire.
Sousensemble, ensemble vide et cardinal
On dit que A est un sous-ensemble de E, ou une partie de E, lorsque tout élément de A appartient à E ; on note A ⊂ E. L'ensemble vide, noté ∅, ne contient aucun élément et est inclus dans tout ensemble. Si E est fini, son cardinal, noté Card(E), est son nombre d'éléments.
Exemple : si E = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, alors A = {2 ; 4} vérifie A ⊂ E et Card(A) = 2. On distingue bien 2 ∈ A de A ⊂ E.
Couples et produit cartésien
Un couple (x ; y) est ordonné : en général (x ; y) ≠ (y ; x). Le produit cartésien A × B est l'ensemble des couples dont le premier élément appartient à A et le second à B :
A × B = {(x ; y) tels que x ∈ A et y ∈ B}.
Si A = {1 ; 2} et B = {a ; b ; c}, alors Card(A × B) = 2 × 3 = 6. Un repère identifie le plan à ℝ × ℝ.
2. Intervalles de ℝ
Définition
Un intervalle rassemble tous les réels situés entre une ou deux bornes.
| Condition | Intervalle | Statut des bornes |
|---|---|---|
| a ≤ x ≤ b | [a ; b] | a et b inclus |
| a < x < b | ]a ; b[ | a et b exclus |
| a ≤ x < b | [a ; b[ | a inclus, b exclu |
| x ≥ a | [a ; +∞[ | +∞ n'est jamais inclus |
| x < b | ]−∞ ; b[ | −∞ et b exclus |
Union et intersection
L'intersection A ∩ B contient les éléments appartenant à la fois à A et à B. L'union A ∪ B contient les éléments appartenant à A ou à B, éventuellement aux deux. Dans un univers Ω, le complémentaire de A, noté Ā ou Ω \ A, contient les éléments qui ne sont pas dans A.
3. Propositions, négation et connecteurs
Définition
Une proposition est une phrase mathématique qui est soit vraie, soit fausse. La négation de P, notée « non P », a la valeur de vérité opposée. Les connecteurs « et » et « ou » combinent deux propositions. En mathématiques, « P ou Q » est inclusif : au moins l'une est vraie, et elles peuvent l'être toutes les deux.
| P | Q | P et Q | P ou Q |
|---|---|---|---|
| vraie | vraie | vraie | vraie |
| vraie | fausse | fausse | vraie |
| fausse | vraie | fausse | vraie |
| fausse | fausse | fausse | fausse |
Propriétés de négation
- La négation de « x ≥ 3 » est « x < 3 ».
- La négation de « P et Q » est « non P ou non Q ».
- La négation de « P ou Q » est « non P et non Q ».
- La négation de « pour tout x, P(x) » est « il existe au moins un x tel que non P(x) ».
- La négation de « il existe x tel que P(x) » est « pour tout x, non P(x) ».
4. Implication, réciproque et équivalence
Définitions
L'implication P ⇒ Q signifie : « si P est vraie, alors Q est vraie ». P est une condition suffisante de Q ; Q est une condition nécessaire de P. La réciproque est Q ⇒ P. L'équivalence P ⇔ Q signifie que les deux implications P ⇒ Q et Q ⇒ P sont vraies.
Contraposée
L'implication P ⇒ Q est logiquement équivalente à sa contraposée « non Q ⇒ non P ». Elle n'est pas équivalente à sa réciproque.
6. Calcul algébrique utile toute l'année
Statut des lettres et des égalités
- Une variable peut prendre différentes valeurs dans un ensemble donné ; dans f(x), x est la variable.
- Une inconnue est une valeur à déterminer pour rendre une équation vraie.
- Un paramètre est une lettre considérée comme fixée pendant une résolution, mais dont la valeur peut faire varier le problème.
- Une identité est vraie pour toutes les valeurs autorisées, par exemple (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
- Une équation n'est vraie que pour certaines valeurs de l'inconnue, appelées solutions. Elle doit toujours être accompagnée de son domaine.
Dans x2 + mx + 1 = 0, x est l'inconnue et m un paramètre : l'ensemble des solutions dépend de m.
Identités remarquables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a − b)(a + b) = a2 − b2
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Méthodes de preuve
- Raisonnement direct : partir des hypothèses et appliquer des résultats connus jusqu'à la conclusion.
- Disjonction de cas : traiter séparément plusieurs situations qui couvrent tous les cas possibles.
- Contraposée : démontrer non Q ⇒ non P à la place de P ⇒ Q.
- Raisonnement par l'absurde : supposer le contraire de la conclusion, puis obtenir une contradiction.
- Contre-exemple : un seul cas qui ne vérifie pas une affirmation universelle suffit à la réfuter.
Méthode 2Résoudre une équation produit
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Ainsi (x − 2)(3x + 5) = 0 équivaut à x − 2 = 0 ou 3x + 5 = 0, d'où x = 2 ou x = −53.
Méthode 3Signe d'un quotient
- Déterminer les zéros du numérateur et les valeurs interdites du dénominateur.
- Étudier le signe de chaque facteur.
- Combiner les signes dans un tableau ; exclure toujours les valeurs interdites.
Méthode 4À éviter
- Confondre ∈ et ⊂ : 2 ∈ ℕ, tandis que ℕ ⊂ ℝ.
- Inclure l'infini dans un intervalle : on écrit toujours un crochet ouvert du côté de ±∞.
- Prendre la réciproque pour l'implication initiale.
- Prouver une propriété générale avec quelques exemples : des exemples illustrent, ils ne démontrent pas.
- Diviser une équation par une expression pouvant être nulle sans traiter ce cas.
- Écrire √x2 = x pour tout réel : la bonne égalité est √x2 = |x|.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés