Exercices corrigés — Logique, ensembles et raisonnement (Première)

a) I ∩ J est l'ensemble des réels vérifiant x ≤ 3 et x ≥ −1 : c'est l'intervalle [−1 ; 3]. I ∪ J contient tous les réels : un réel inférieur ou égal à 3 est dans I, et un réel strictement supérieur à 3 est dans J (car il est alors supérieur à −1). Donc I ∪ J = ℝ.
b) Le complémentaire de [−1 ; 3] dans ℝ est l'ensemble des réels qui n'y sont pas : ceux qui vérifient x < −1 ou x > 3, soit ]−∞ ; −1[ ∪ ]3 ; +∞[. Les bornes −1 et 3 sont exclues du complémentaire, puisqu'elles appartiennent à [−1 ; 3].
c) 3 vérifie −1 ≤ 3 ≤ 3, donc 3 ∈ I ∩ J, et par conséquent 3 n'appartient pas au complémentaire. Un réel appartient toujours à exactement l'un des deux ensembles : la partie ou son complémentaire.

la négation de « pour tout x, P(x) » est « il existe au moins un x tel que non P(x) », et la négation de x² ≥ x est x² < x.
La négation est donc : « il existe au moins un réel x tel que x² < x ». Il serait faux d'écrire « pour tout réel x, x² < x », qui est une proposition beaucoup plus forte.
La proposition initiale est fausse : il suffit d'un contre-exemple. Pour x = 12, x² = 14 et 14 < 12. Sa négation est donc vraie.
Plus précisément, x² < x équivaut à x(x − 1) < 0, ce qui a lieu exactement pour 0 < x < 1 : l'inégalité x² ≥ x est vraie pour x ≤ 0 et pour x ≥ 1, fausse entre 0 et 1.