Exercices corrigés — Logique, ensembles et raisonnement (Première)

c'est la valeur du nombre qui compte, pas la forme sous laquelle il est écrit.
a) −72 = −3,5 n'est pas un entier, mais c'est un quotient de deux entiers : −72 ∈ ℚ, et −72 ∉ ℤ.
b) √16 = 4 : c'est un entier naturel, √16 ∈ ℕ, même si son écriture comporte une racine.
c) 0,333… = 13 (en effet 3 × 0,333… = 0,999… = 1). Ce nombre est rationnel : 0,333… ∈ ℚ. Tout nombre dont l'écriture décimale est périodique est rationnel.
d) √5 n'est pas un quotient d'entiers (résultat admis, comme pour √2) : √5 ∈ ℝ mais √5 ∉ ℚ. On dit que √5 est irrationnel.
e) 124 = 3 ∈ ℕ : une écriture fractionnaire peut désigner un entier.
f) π − π = 0 ∈ ℕ, bien que π soit irrationnel : la différence de deux irrationnels peut être un entier.

la condition −3 < x exclut la borne −3 (crochet ouvert) et la condition x ≤ 5 inclut la borne 5 (crochet fermé) : l'ensemble est l'intervalle ]−3 ; 5].
Intersection : un réel appartient à ]−3 ; 5] ∩ [2 ; 8[ s'il vérifie à la fois −3 < x ≤ 5 et 2 ≤ x < 8, c'est-à-dire 2 ≤ x ≤ 5. Donc ]−3 ; 5] ∩ [2 ; 8[ = [2 ; 5]. Le 2 est inclus (il appartient aux deux intervalles) et le 5 aussi.
Réunion : un réel appartient à la réunion s'il est dans l'un au moins des deux intervalles ; les deux se recouvrent sur [2 ; 5], donc ]−3 ; 5] ∪ [2 ; 8[ = ]−3 ; 8[.
Sur une droite graduée, on colorie les deux intervalles l'un au-dessus de l'autre : l'intersection est la zone doublement coloriée, la réunion la zone coloriée au moins une fois.