Exercices corrigés — Logique, ensembles et raisonnement (Première)

c'est la valeur du nombre qui compte, pas la forme sous laquelle il est écrit.
a) −72 = −3,5 n'est pas un entier, mais c'est un quotient de deux entiers : −72 ∈ ℚ, et −72 ∉ ℤ.
b) √16 = 4 : c'est un entier naturel, √16 ∈ ℕ, même si son écriture comporte une racine.
c) 0,333… = 13 (en effet 3 × 0,333… = 0,999… = 1). Ce nombre est rationnel : 0,333… ∈ ℚ. Tout nombre dont l'écriture décimale est périodique est rationnel.
d) √5 n'est pas un quotient d'entiers (résultat admis, comme pour √2) : √5 ∈ ℝ mais √5 ∉ ℚ. On dit que √5 est irrationnel.
e) 124 = 3 ∈ ℕ : une écriture fractionnaire peut désigner un entier.
f) π − π = 0 ∈ ℕ, bien que π soit irrationnel : la différence de deux irrationnels peut être un entier.

la condition −3 < x exclut la borne −3 (crochet ouvert) et la condition x ≤ 5 inclut la borne 5 (crochet fermé) : l'ensemble est l'intervalle ]−3 ; 5].
Intersection : un réel appartient à ]−3 ; 5] ∩ [2 ; 8[ s'il vérifie à la fois −3 < x ≤ 5 et 2 ≤ x < 8, c'est-à-dire 2 ≤ x ≤ 5. Donc ]−3 ; 5] ∩ [2 ; 8[ = [2 ; 5]. Le 2 est inclus (il appartient aux deux intervalles) et le 5 aussi.
Réunion : un réel appartient à la réunion s'il est dans l'un au moins des deux intervalles ; les deux se recouvrent sur [2 ; 5], donc ]−3 ; 5] ∪ [2 ; 8[ = ]−3 ; 8[.
Sur une droite graduée, on colorie les deux intervalles l'un au-dessus de l'autre : l'intersection est la zone doublement coloriée, la réunion la zone coloriée au moins une fois.

a) I ∩ J est l'ensemble des réels vérifiant x ≤ 3 et x ≥ −1 : c'est l'intervalle [−1 ; 3]. I ∪ J contient tous les réels : un réel inférieur ou égal à 3 est dans I, et un réel strictement supérieur à 3 est dans J (car il est alors supérieur à −1). Donc I ∪ J = ℝ.
b) Le complémentaire de [−1 ; 3] dans ℝ est l'ensemble des réels qui n'y sont pas : ceux qui vérifient x < −1 ou x > 3, soit ]−∞ ; −1[ ∪ ]3 ; +∞[. Les bornes −1 et 3 sont exclues du complémentaire, puisqu'elles appartiennent à [−1 ; 3].
c) 3 vérifie −1 ≤ 3 ≤ 3, donc 3 ∈ I ∩ J, et par conséquent 3 n'appartient pas au complémentaire. Un réel appartient toujours à exactement l'un des deux ensembles : la partie ou son complémentaire.

la négation de « pour tout x, P(x) » est « il existe au moins un x tel que non P(x) », et la négation de x² ≥ x est x² < x.
La négation est donc : « il existe au moins un réel x tel que x² < x ». Il serait faux d'écrire « pour tout réel x, x² < x », qui est une proposition beaucoup plus forte.
La proposition initiale est fausse : il suffit d'un contre-exemple. Pour x = 12, x² = 14 et 14 < 12. Sa négation est donc vraie.
Plus précisément, x² < x équivaut à x(x − 1) < 0, ce qui a lieu exactement pour 0 < x < 1 : l'inégalité x² ≥ x est vraie pour x ≤ 0 et pour x ≥ 1, fausse entre 0 et 1.

l'implication « x = 3 ⇒ x² = 9 » est vraie : si x = 3, alors x² = 3² = 9, par simple remplacement.
Sa réciproque est « x² = 9 ⇒ x = 3 ». Elle est fausse : x = −3 vérifie x² = 9 sans vérifier x = 3. Un seul contre-exemple suffit pour établir qu'une implication est fausse.
Comme la réciproque est fausse, il n'y a pas d'équivalence entre x = 3 et x² = 9. L'équivalence correcte est : x² = 9 ⇔ (x = 3 ou x = −3).
Vocabulaire : x = 3 est une condition suffisante pour que x² = 9, mais pas une condition nécessaire.

soit n un entier impair. Par définition, il existe un entier k tel que n = 2k + 1.
Alors n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1, d'après l'identité (a + b)² = a² + 2ab + b².
On factorise 2 dans les deux premiers termes : n² = 2(2k² + 2k) + 1. Le nombre m = 2k² + 2k est un entier, donc n² = 2m + 1 est impair.
Conclusion : le carré de tout entier impair est impair. La démonstration est directe : on part de l'hypothèse (n impair), on la traduit par sa définition, et l'on arrive à la conclusion par le calcul. Exemple : 7 = 2 × 3 + 1 et 49 = 2 × 24 + 1.

une démonstration directe est difficile : de n² = 2m, on ne tire pas directement une information sur n. On utilise la contraposée, qui a la même valeur de vérité que l'implication.
La contraposée de « n² pair ⇒ n pair » est « n impair ⇒ n² impair » (on nie la conclusion et l'hypothèse, et l'on inverse le sens).
Or cette contraposée est exactement ce qui a été démontré à l'exercice précédent : si n = 2k + 1, alors n² = 2(2k² + 2k) + 1 est impair.
La contraposée étant vraie, l'implication « si n² est pair, alors n est pair » est vraie. Remarque : la réciproque « n pair ⇒ n² pair » est vraie aussi (si n = 2k, n² = 4k² = 2 × 2k²) : on a donc l'équivalence « n pair ⇔ n² pair ». C'est le point de départ de la démonstration classique de l'irrationalité de √2.

a) x² = 5x ⇔ x² − 5x = 0 ⇔ x(x − 5) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 5. L'ensemble des solutions est {0 ; 5}. Chaque étape est une équivalence : on n'a ni perdu ni ajouté de solution.
Diviser par x suppose x ≠ 0 : on obtient x = 5, mais on a perdu la solution 0. La division n'est pas une équivalence ; on a seulement l'implication « x² = 5x et x ≠ 0 ⇒ x = 5 ». Règle : ne jamais diviser par une expression qui peut s'annuler ; factoriser à la place.
b) Si x > 2, alors x est strictement positif et x × x > 2 × 2, soit x² > 4 (on multiplie membre à membre deux inégalités entre nombres positifs). L'implication est vraie. Sa réciproque « x² > 4 ⇒ x > 2 » est fausse : x = −3 donne 9 > 4 alors que −3 < 2.
c) x² > 4 ⇔ x² − 4 > 0 ⇔ (x − 2)(x + 2) > 0 ⇔ x < −2 ou x > 2 (un produit de deux facteurs est strictement positif quand ils sont de même signe). On peut aussi écrire x² > 4 ⇔ |x| > 2.