Exercices corrigés — Logique, ensembles et raisonnement (Première)

une démonstration directe est difficile : de n² = 2m, on ne tire pas directement une information sur n. On utilise la contraposée, qui a la même valeur de vérité que l'implication.
La contraposée de « n² pair ⇒ n pair » est « n impair ⇒ n² impair » (on nie la conclusion et l'hypothèse, et l'on inverse le sens).
Or cette contraposée est exactement ce qui a été démontré à l'exercice précédent : si n = 2k + 1, alors n² = 2(2k² + 2k) + 1 est impair.
La contraposée étant vraie, l'implication « si n² est pair, alors n est pair » est vraie. Remarque : la réciproque « n pair ⇒ n² pair » est vraie aussi (si n = 2k, n² = 4k² = 2 × 2k²) : on a donc l'équivalence « n pair ⇔ n² pair ». C'est le point de départ de la démonstration classique de l'irrationalité de √2.

a) x² = 5x ⇔ x² − 5x = 0 ⇔ x(x − 5) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 5. L'ensemble des solutions est {0 ; 5}. Chaque étape est une équivalence : on n'a ni perdu ni ajouté de solution.
Diviser par x suppose x ≠ 0 : on obtient x = 5, mais on a perdu la solution 0. La division n'est pas une équivalence ; on a seulement l'implication « x² = 5x et x ≠ 0 ⇒ x = 5 ». Règle : ne jamais diviser par une expression qui peut s'annuler ; factoriser à la place.
b) Si x > 2, alors x est strictement positif et x × x > 2 × 2, soit x² > 4 (on multiplie membre à membre deux inégalités entre nombres positifs). L'implication est vraie. Sa réciproque « x² > 4 ⇒ x > 2 » est fausse : x = −3 donne 9 > 4 alors que −3 < 2.
c) x² > 4 ⇔ x² − 4 > 0 ⇔ (x − 2)(x + 2) > 0 ⇔ x < −2 ou x > 2 (un produit de deux facteurs est strictement positif quand ils sont de même signe). On peut aussi écrire x² > 4 ⇔ |x| > 2.