Exercices corrigés — Fonction exponentielle (Première)

f est dérivable sur ℝ comme produit de fonctions dérivables. Avec u = 2x + 1, u' = 2, et (e^−x)' = −e^−x (dérivée de e^ax+b avec a = −1) :
f'(x) = 2e^−x + (2x + 1) × (−e^−x) = (2 − 2x − 1)e^−x = (1 − 2x)e^−x.
L'exponentielle étant strictement positive, f'(x) est du signe de 1 − 2x : positive pour x < 12, nulle en 12, négative pour x > 12.
f est croissante sur ]−∞ ; 12] et décroissante sur [12 ; +∞[. Elle admet un maximum en 12 : f(12) = 2e⁻¹² = 2√e ≈ 1,21. La courbe coupe l'axe des abscisses en x = −12 (car e^−x ne s'annule jamais) et se rapproche de cet axe pour x grand.

f est dérivable sur ℝ. Avec u = x², u' = 2x, et (e^−x)' = −e^−x : f'(x) = 2xe^−x − x²e^−x = (2x − x²)e^−x = x(2 − x)e^−x.
Comme e^−x > 0, le signe de f' est celui du trinôme x(2 − x) = −x² + 2x, de racines 0 et 2, négatif à l'extérieur des racines (coefficient dominant négatif) et positif entre elles.
f' < 0 sur ]−∞ ; 0[, f' > 0 sur ]0 ; 2[, f' < 0 sur ]2 ; +∞[. Donc f est décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; 2], décroissante sur [2 ; +∞[.
Valeurs : f(0) = 0, minimum (local et même global, puisque f(x) ≥ 0 pour tout x) ; f(2) = 4e⁻² ≈ 0,54, maximum local. Pour x très négatif, x² et e^−x sont tous deux très grands ; pour x très grand, la courbe se rapproche de l'axe des abscisses (l'exponentielle l'emporte sur x², résultat formalisé en Terminale).