Exercices corrigés — Fonction exponentielle (Première)

a) On écrit 1 = e⁰. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants le sont : e^3x−2 = e⁰ ⇔ 3x − 2 = 0 ⇔ x = 23. Solution unique : 23.
b) Par stricte croissance de l'exponentielle, e^2x+5 > e^7−x ⇔ 2x + 5 > 7 − x (le sens de l'inégalité est conservé). Donc 3x > 2, soit x > 23.
L'ensemble des solutions est ]23 ; +∞[. Vérification avec x = 1 : e⁷ > e⁶, exact ; avec x = 0 : e⁵ > e⁷ est faux.
Retenir : on « retire l'exponentielle » des deux côtés en gardant le sens de l'inégalité, ce qui n'est possible que parce que la fonction est strictement croissante.

a) Deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux : x² = 3x − 2 ⇔ x² − 3x + 2 = 0. Ce trinôme a pour racines 1 et 2 (somme 3, produit 2 ; ou Δ = 9 − 8 = 1). Solutions : {1 ; 2}. Vérification : pour x = 2, les deux membres valent e⁴.
b) 1 = e⁰, donc e^−2x < e⁰ ⇔ −2x < 0 ⇔ x > 0 (on divise par −2, ce qui change le sens). Solutions : ]0 ; +∞[. Cohérence : pour x > 0, l'exposant −2x est négatif et l'exponentielle d'un nombre négatif est inférieure à 1.
c) e^x × e^x+1 = e^2x+1, donc l'équation devient 2x + 1 = 3, soit x = 1. Solution unique : 1. Vérification : e¹ × e² = e³.