Première · Fiche de révision

Fonction exponentielle — fiche résumé

L'essentiel du chapitre en une page : 10 points à retenir et 1 méthode. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.

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À retenir

1. Origine et définition

Définition caractéristique

La fonction exponentielle, notée exp, est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que

exp' = exp et exp(0) = 1.

On note exp(x) = e^x. Le nombre e = exp(1) vaut environ 2,71828.

Construction intuitive

L'exponentielle modélise une grandeur dont la vitesse d'évolution est proportionnelle à la grandeur elle-même. Son existence et son unicité complètes sont admises. Les méthodes numériques permettent d'en approcher les valeurs ; par exemple l'algorithme d'Euler, étudié comme expérimentation, construit des approximations à petits pas.

2. Propriétés algébriques

Relation fonctionnelle

Pour tous réels x et y :

e^x+y = e^xe^y.

On en déduit e⁰ = 1, e^−x = 1e^x, e^x−y = e^x/e^y et (e^x)ⁿ = e^nx pour n entier.

Démonstration de la relation fonctionnelle

Justifions d'abord que le quotient a un sens. Posons φ(x) = e^x × e^−x. Alors φ′(x) = e^xe^−x − e^xe^−x = 0, donc φ est constante, égale à φ(0) = 1. Ainsi e^x × e^−x = 1, ce qui prouve que e^x ≠ 0 pour tout x.

Fixons alors y et considérons g(x) = e^x+y/e^x, bien définie sur ℝ. En dérivant ce quotient, le numérateur obtenu est e^x+ye^x − e^x+ye^x = 0. Donc g est constante. En x = 0, g(0) = e^y, d'où g(x) = e^y et la relation annoncée.

3. Signe et variations

Propriétés

Pour tout réel x, e^x > 0. Démonstration : l'égalité e^x × e^−x = 1 établie au paragraphe 2 montre que l'exponentielle ne s'annule jamais ; comme exp est dérivable donc continue sur ℝ et que exp(0) = 1 > 0, elle ne peut changer de signe sans s'annuler : elle reste donc strictement positive.
Comme sa dérivée est elle-même et reste positive, exp est strictement croissante sur ℝ.
e^x = 1 si et seulement si x = 0.
e^x > 1 si et seulement si x > 0.
e^u = e^v ⇔ u = v, et e^u < e^v ⇔ u < v.

Limites intuitives

Quand x prend de très grandes valeurs positives, e^x grandit sans borne. Quand x prend de très grandes valeurs négatives, e^x se rapproche de 0. Ces comportements sont lus graphiquement et numériquement en Première ; leur formalisation relève de la Terminale.

4. Dériver des fonctions exponentielles

Formules

(e^x)' = e^x.
[e^ax+b]' = ae^ax+b.
[u(x)e^x]' = [u'(x) + u(x)]e^x.

5. Modèles d'évolution continue

Croissance ou décroissance exponentielle

Une grandeur modélisée par y(t) = Ce^kt, avec C > 0, vérifie y'(t) = ky(t). Si k > 0, elle croît ; si k < 0, elle décroît. Le modèle continu se distingue d'une suite géométrique, définie seulement à des instants entiers.

6. Inégalité de la tangente

Propriété

Pour tout réel x, e^x ≥ 1 + x. L'égalité a lieu uniquement pour x = 0. Géométriquement, la courbe de l'exponentielle est au-dessus de sa tangente en 0, d'équation y = x + 1.

Démonstration par les variations

Posons h(x) = e^x − x − 1. On a h'(x) = e^x − 1, négative pour x < 0 et positive pour x > 0. La fonction h atteint donc son minimum en 0, avec h(0) = 0. Ainsi h(x) ≥ 0.

Les méthodes

Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.

Méthode 1À éviter

Écrire e^x+y = e^x + e^y : la somme des exposants donne un produit.
Écrire e^−x = −e^x : e^−x = 1e^x et reste positif.
Oublier le facteur a dans la dérivée de e^ax+b.
Inventer une « solution logarithme » alors que le logarithme n'est pas encore au programme de Première.
Confondre e^x, toujours positif, avec son exposant x, qui peut être négatif.

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