Exercices corrigés — Fonction exponentielle (Première)

on utilise la relation fonctionnelle e^ae^b = e^a+b et sa conséquence e^a/e^b = e^a−b.
A = e^{(2x+1)+(3−5x)} = e^−3x+4. On additionne les exposants, on ne les multiplie pas.
B = e^4x−(1−x) = e^4x−1+x = e^5x−1. Attention au signe : soustraire 1 − x revient à retrancher 1 et à ajouter x.
Contrôle avec x = 0 : A = e¹ × e³ = e⁴, conforme à e⁻⁰⁺⁴ ; B = 1e = e⁻¹, conforme à e⁰⁻¹.

a) (e^x)² = e^2x, donc (e^x)² × e^−3x = e^2x−3x = e^−x. De même (e^x)³ = e^3x, donc e^2x/(e^x)³ = e^2x−3x = e^−x. Les deux expressions sont égales à 1e^x.
b) On développe avec (a + b)² = a² + 2ab + b², en notant que e^x × e^−x = e⁰ = 1 : (e^x + e^−x)² = e^2x + 2 + e^−2x et (e^x − e^−x)² = e^2x − 2 + e^−2x.
La différence vaut (e^2x + 2 + e^−2x) − (e^2x − 2 + e^−2x) = 4, quel que soit x.
Plus rapidement, (a + b)² − (a − b)² = 4ab, et ici ab = e^xe^−x = 1. Erreur à éviter : écrire e^−x = −e^x ; l'exponentielle est toujours strictement positive et e^−x = 1e^x.