Fonction exponentielle — cours de Première

Origine et définition, Propriétés algébriques, Signe et variations, Dériver des fonctions exponentielles Lecture ≈ 4 min.

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1. Origine et définition

Définition caractéristique

La fonction exponentielle, notée exp, est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que

exp' = exp et exp(0) = 1.

On note exp(x) = e^x. Le nombre e = exp(1) vaut environ 2,71828.

Construction intuitive

L'exponentielle modélise une grandeur dont la vitesse d'évolution est proportionnelle à la grandeur elle-même. Son existence et son unicité complètes sont admises. Les méthodes numériques permettent d'en approcher les valeurs ; par exemple l'algorithme d'Euler, étudié comme expérimentation, construit des approximations à petits pas.

2. Propriétés algébriques

Relation fonctionnelle

Pour tous réels x et y :

e^x+y = e^xe^y.

On en déduit e⁰ = 1, e^−x = 1e^x, e^x−y = e^x/e^y et (e^x)ⁿ = e^nx pour n entier.

Démonstration de la relation fonctionnelle

Justifions d'abord que le quotient a un sens. Posons φ(x) = e^x × e^−x. Alors φ′(x) = e^xe^−x − e^xe^−x = 0, donc φ est constante, égale à φ(0) = 1. Ainsi e^x × e^−x = 1, ce qui prouve que e^x ≠ 0 pour tout x.

Fixons alors y et considérons g(x) = e^x+y/e^x, bien définie sur ℝ. En dérivant ce quotient, le numérateur obtenu est e^x+ye^x − e^x+ye^x = 0. Donc g est constante. En x = 0, g(0) = e^y, d'où g(x) = e^y et la relation annoncée.

Exemple de simplification

A = e^3x−2 × e^5−x = e^2x+3.
B = e^4x/e^x−1 = e^3x+1.
C = e^−2x = 1e^2x.

3. Signe et variations

Propriétés

Pour tout réel x, e^x > 0. Démonstration : l'égalité e^x × e^−x = 1 établie au paragraphe 2 montre que l'exponentielle ne s'annule jamais ; comme exp est dérivable donc continue sur ℝ et que exp(0) = 1 > 0, elle ne peut changer de signe sans s'annuler : elle reste donc strictement positive.
Comme sa dérivée est elle-même et reste positive, exp est strictement croissante sur ℝ.
e^x = 1 si et seulement si x = 0.
e^x > 1 si et seulement si x > 0.
e^u = e^v ⇔ u = v, et e^u < e^v ⇔ u < v.

Limites intuitives

Quand x prend de très grandes valeurs positives, e^x grandit sans borne. Quand x prend de très grandes valeurs négatives, e^x se rapproche de 0. Ces comportements sont lus graphiquement et numériquement en Première ; leur formalisation relève de la Terminale.

Exemple – Équation et inéquation

e^2x−3 = e^5−x équivaut à 2x − 3 = 5 − x, donc x = 83.

e^4x+1 ≤ 1 équivaut à 4x + 1 ≤ 0, donc x ≤ −14.

Une équation telle que e^x = 7 ne se résout pas exactement avec les seules notions de Première : le logarithme est étudié en Terminale. On donne une valeur approchée à la calculatrice si demandé.

4. Dériver des fonctions exponentielles

Formules

(e^x)' = e^x.
[e^ax+b]' = ae^ax+b.
[u(x)e^x]' = [u'(x) + u(x)]e^x.

Exemple résolu – Variations

Étudier f(x) = (x − 2)e^x.

f'(x) = 1 × e^x + (x − 2)e^x = (x − 1)e^x.
Comme e^x > 0, le signe de f' est celui de x − 1.
f décroît sur ]−∞ ; 1] puis croît sur [1 ; +∞[.
Son minimum vaut f(1) = −e.

Exemple – Exponentielle d'une expression affine

Pour g(x) = 3e^−0,4x + 2, g'(x) = 3 × (−0,4)e^−0,4x = −1,2e^−0,4x < 0. Ainsi g est strictement décroissante sur ℝ.

5. Modèles d'évolution continue

Croissance ou décroissance exponentielle

Une grandeur modélisée par y(t) = Ce^kt, avec C > 0, vérifie y'(t) = ky(t). Si k > 0, elle croît ; si k < 0, elle décroît. Le modèle continu se distingue d'une suite géométrique, définie seulement à des instants entiers.

Exemple résolu – Radioactivité

Une masse est modélisée par m(t) = 120e^−0,08t en grammes, t en années.

m(0) = 120 g.
m'(t) = −9,6e^−0,08t < 0 : la masse décroît.
Après 10 ans, m(10) = 120e^−0,8 ≈ 53,9 g.
Pour chercher quand la masse passe sous 30 g sans logarithme, on peut utiliser un tableau ou un algorithme de balayage.

Exemple – Comparaison discret/continu

Une croissance annuelle de 5 % donne aux dates entières u_n = u₀1,05ⁿ. Un modèle continu associé peut s'écrire f(t) = u₀e^kt, où k est choisi pour que e^k = 1,05. Déterminer exactement k nécessite le logarithme ; une calculatrice donne k ≈ 0,04879.

6. Inégalité de la tangente

Propriété

Pour tout réel x, e^x ≥ 1 + x. L'égalité a lieu uniquement pour x = 0. Géométriquement, la courbe de l'exponentielle est au-dessus de sa tangente en 0, d'équation y = x + 1.

Démonstration par les variations

Posons h(x) = e^x − x − 1. On a h'(x) = e^x − 1, négative pour x < 0 et positive pour x > 0. La fonction h atteint donc son minimum en 0, avec h(0) = 0. Ainsi h(x) ≥ 0.

7. Erreurs fréquentes

À éviter

Écrire e^x+y = e^x + e^y : la somme des exposants donne un produit.
Écrire e^−x = −e^x : e^−x = 1e^x et reste positif.
Oublier le facteur a dans la dérivée de e^ax+b.
Inventer une « solution logarithme » alors que le logarithme n'est pas encore au programme de Première.
Confondre e^x, toujours positif, avec son exposant x, qui peut être négatif.

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