Exercices corrigés — Fonction exponentielle (Première)

température initiale : T(0) = 20 + 80e⁰ = 20 + 80 = 100 °C.
Sens de variation : T'(t) = 80 × (−0,3)e^−0,3t = −24e^−0,3t. L'exponentielle est strictement positive, donc T'(t) < 0 pour tout t : la température est strictement décroissante, l'objet se refroidit.
Après 5 minutes : T(5) = 20 + 80e^−1,5 ≈ 20 + 80 × 0,2231 ≈ 37,85 °C, soit environ 37,9 °C.
Comportement à long terme : quand t devient grand, e^−0,3t se rapproche de 0, donc T(t) se rapproche de 20 °C sans jamais l'atteindre (80e^−0,3t > 0). Le nombre 20 s'interprète comme la température ambiante : l'objet tend vers la température de la pièce, d'abord vite puis de plus en plus lentement.

a) P(0) = 500e⁰ = 500 individus.
b) P'(t) = 500 × 0,02e^0,02t = 0,02 × 500e^0,02t = 0,02P(t). La vitesse de croissance est proportionnelle à la population : à chaque instant, la population augmente à un rythme égal à 2 % de sa valeur. C'est la propriété caractéristique de l'exponentielle (exp' = exp) qui rend ce modèle naturel.
c) P(50) = 500e¹ = 500e ≈ 500 × 2,71828 ≈ 1 359 individus.
d) Pt + 1P(t) = 500e^0,02(t+1)/(500e^0,02t) = e^0,02 ≈ 1,0202. Chaque année, la population est multipliée par environ 1,0202, soit une hausse d'environ 2,02 % par an. Le taux est légèrement supérieur à 2 % car la croissance est continue : les gains de chaque instant produisent eux-mêmes des gains dans la suite de l'année. Aux dates entières, la population suit ainsi une suite géométrique de raison e^0,02.