Exercices corrigés — Fonction exponentielle (Première)

on utilise la relation fonctionnelle e^ae^b = e^a+b et sa conséquence e^a/e^b = e^a−b.
A = e^{(2x+1)+(3−5x)} = e^−3x+4. On additionne les exposants, on ne les multiplie pas.
B = e^4x−(1−x) = e^4x−1+x = e^5x−1. Attention au signe : soustraire 1 − x revient à retrancher 1 et à ajouter x.
Contrôle avec x = 0 : A = e¹ × e³ = e⁴, conforme à e⁻⁰⁺⁴ ; B = 1e = e⁻¹, conforme à e⁰⁻¹.

a) (e^x)² = e^2x, donc (e^x)² × e^−3x = e^2x−3x = e^−x. De même (e^x)³ = e^3x, donc e^2x/(e^x)³ = e^2x−3x = e^−x. Les deux expressions sont égales à 1e^x.
b) On développe avec (a + b)² = a² + 2ab + b², en notant que e^x × e^−x = e⁰ = 1 : (e^x + e^−x)² = e^2x + 2 + e^−2x et (e^x − e^−x)² = e^2x − 2 + e^−2x.
La différence vaut (e^2x + 2 + e^−2x) − (e^2x − 2 + e^−2x) = 4, quel que soit x.
Plus rapidement, (a + b)² − (a − b)² = 4ab, et ici ab = e^xe^−x = 1. Erreur à éviter : écrire e^−x = −e^x ; l'exponentielle est toujours strictement positive et e^−x = 1e^x.

a) On écrit 1 = e⁰. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants le sont : e^3x−2 = e⁰ ⇔ 3x − 2 = 0 ⇔ x = 23. Solution unique : 23.
b) Par stricte croissance de l'exponentielle, e^2x+5 > e^7−x ⇔ 2x + 5 > 7 − x (le sens de l'inégalité est conservé). Donc 3x > 2, soit x > 23.
L'ensemble des solutions est ]23 ; +∞[. Vérification avec x = 1 : e⁷ > e⁶, exact ; avec x = 0 : e⁵ > e⁷ est faux.
Retenir : on « retire l'exponentielle » des deux côtés en gardant le sens de l'inégalité, ce qui n'est possible que parce que la fonction est strictement croissante.

a) Deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux : x² = 3x − 2 ⇔ x² − 3x + 2 = 0. Ce trinôme a pour racines 1 et 2 (somme 3, produit 2 ; ou Δ = 9 − 8 = 1). Solutions : {1 ; 2}. Vérification : pour x = 2, les deux membres valent e⁴.
b) 1 = e⁰, donc e^−2x < e⁰ ⇔ −2x < 0 ⇔ x > 0 (on divise par −2, ce qui change le sens). Solutions : ]0 ; +∞[. Cohérence : pour x > 0, l'exposant −2x est négatif et l'exponentielle d'un nombre négatif est inférieure à 1.
c) e^x × e^x+1 = e^2x+1, donc l'équation devient 2x + 1 = 3, soit x = 1. Solution unique : 1. Vérification : e¹ × e² = e³.

f est dérivable sur ℝ comme produit de fonctions dérivables. Avec u = 2x + 1, u' = 2, et (e^−x)' = −e^−x (dérivée de e^ax+b avec a = −1) :
f'(x) = 2e^−x + (2x + 1) × (−e^−x) = (2 − 2x − 1)e^−x = (1 − 2x)e^−x.
L'exponentielle étant strictement positive, f'(x) est du signe de 1 − 2x : positive pour x < 12, nulle en 12, négative pour x > 12.
f est croissante sur ]−∞ ; 12] et décroissante sur [12 ; +∞[. Elle admet un maximum en 12 : f(12) = 2e⁻¹² = 2√e ≈ 1,21. La courbe coupe l'axe des abscisses en x = −12 (car e^−x ne s'annule jamais) et se rapproche de cet axe pour x grand.

f est dérivable sur ℝ. Avec u = x², u' = 2x, et (e^−x)' = −e^−x : f'(x) = 2xe^−x − x²e^−x = (2x − x²)e^−x = x(2 − x)e^−x.
Comme e^−x > 0, le signe de f' est celui du trinôme x(2 − x) = −x² + 2x, de racines 0 et 2, négatif à l'extérieur des racines (coefficient dominant négatif) et positif entre elles.
f' < 0 sur ]−∞ ; 0[, f' > 0 sur ]0 ; 2[, f' < 0 sur ]2 ; +∞[. Donc f est décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; 2], décroissante sur [2 ; +∞[.
Valeurs : f(0) = 0, minimum (local et même global, puisque f(x) ≥ 0 pour tout x) ; f(2) = 4e⁻² ≈ 0,54, maximum local. Pour x très négatif, x² et e^−x sont tous deux très grands ; pour x très grand, la courbe se rapproche de l'axe des abscisses (l'exponentielle l'emporte sur x², résultat formalisé en Terminale).

température initiale : T(0) = 20 + 80e⁰ = 20 + 80 = 100 °C.
Sens de variation : T'(t) = 80 × (−0,3)e^−0,3t = −24e^−0,3t. L'exponentielle est strictement positive, donc T'(t) < 0 pour tout t : la température est strictement décroissante, l'objet se refroidit.
Après 5 minutes : T(5) = 20 + 80e^−1,5 ≈ 20 + 80 × 0,2231 ≈ 37,85 °C, soit environ 37,9 °C.
Comportement à long terme : quand t devient grand, e^−0,3t se rapproche de 0, donc T(t) se rapproche de 20 °C sans jamais l'atteindre (80e^−0,3t > 0). Le nombre 20 s'interprète comme la température ambiante : l'objet tend vers la température de la pièce, d'abord vite puis de plus en plus lentement.

a) P(0) = 500e⁰ = 500 individus.
b) P'(t) = 500 × 0,02e^0,02t = 0,02 × 500e^0,02t = 0,02P(t). La vitesse de croissance est proportionnelle à la population : à chaque instant, la population augmente à un rythme égal à 2 % de sa valeur. C'est la propriété caractéristique de l'exponentielle (exp' = exp) qui rend ce modèle naturel.
c) P(50) = 500e¹ = 500e ≈ 500 × 2,71828 ≈ 1 359 individus.
d) Pt + 1P(t) = 500e^0,02(t+1)/(500e^0,02t) = e^0,02 ≈ 1,0202. Chaque année, la population est multipliée par environ 1,0202, soit une hausse d'environ 2,02 % par an. Le taux est légèrement supérieur à 2 % car la croissance est continue : les gains de chaque instant produisent eux-mêmes des gains dans la suite de l'année. Aux dates entières, la population suit ainsi une suite géométrique de raison e^0,02.