Exercices corrigés — Parallélogrammes (5e)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Challenge ». Voir les 8 exercices.

Exercice 7 Challenge

Dans un repère, A(1 ; 1), B(4 ; 2) et C(3 ; 5). Trouver les coordonnées du point D pour que ABCD soit un parallélogramme, puis vérifier avec les diagonales.

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Correction détaillée

Dans le parallélogramme ABCD, les côtés [AB] et [DC] sont parallèles et de même longueur : le déplacement de B vers A est le même que celui de C vers D.
Pour aller de B(4 ; 2) à A(1 ; 1) : 1 − 4 = −3 en abscisse, 1 − 2 = −1 en ordonnée. On applique ce déplacement à C(3 ; 5) : D(3 − 3 ; 5 − 1) = D(0 ; 4).
Vérification : les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Milieu de [AC] : ((1 + 3) ÷ 2 ; (1 + 5) ÷ 2) = (2 ; 3). Milieu de [BD] : ((4 + 0) ÷ 2 ; (2 + 4) ÷ 2) = (2 ; 3).
Les deux diagonales ont le même milieu, donc ABCD est bien un parallélogramme. Attention à l'ordre des lettres : avec D(0 ; 4), c'est ABCD qui est un parallélogramme, pas ABDC.

Exercice 8 Challenge

Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse. a) Tout carré est un losange. b) Tout rectangle est un carré. c) Un losange a ses diagonales de même longueur. d) Un parallélogramme a toujours un centre de symétrie. e) Un quadrilatère qui a deux côtés parallèles est un parallélogramme.

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Correction détaillée

a) Vrai : un carré a quatre côtés de même longueur, c'est donc un losange (avec en plus quatre angles droits).
b) Faux : un rectangle de 5 cm sur 3 cm a quatre angles droits mais pas quatre côtés égaux. Un rectangle n'est un carré que si deux côtés consécutifs sont égaux.
c) Faux en général : les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, mais elles n'ont la même longueur que si le losange est un carré. Un losange « aplati » a une grande et une petite diagonale.
d) Vrai : le point d'intersection des diagonales est un centre de symétrie, car les diagonales se coupent en leur milieu. e) Faux : un trapèze a deux côtés parallèles sans être un parallélogramme ; il faut que les côtés opposés soient parallèles deux à deux.

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