Parallélogrammes — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 7 points à retenir et 2 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Définition
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Dans le parallélogramme ABCD : (AB) // (DC) et (AD) // (BC). Les côtés [AB] et [DC] sont opposés, ainsi que [AD] et [BC]. Les segments [AC] et [BD] sont les diagonales.
2. Propriétés du parallélogramme
Propriété
Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
Propriété
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :
- ses diagonales se coupent en leur milieu ;
- ses côtés opposés ont la même longueur : AB = DC et AD = BC ;
- ses angles opposés ont la même mesure : angle A = angle C et angle B = angle D ;
- deux angles consécutifs sont supplémentaires : angle A + angle B = 180°.
3. Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Propriété
Un quadrilatère est un parallélogramme si l'une des conditions suivantes est vérifiée :
- ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (définition) ;
- ses diagonales se coupent en leur milieu ;
- ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux (quadrilatère non croisé) ;
- il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur (quadrilatère non croisé) ;
- il a un centre de symétrie.
5. Parallélogrammes particuliers
Définition
- Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
- Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
- Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. C'est à la fois un rectangle et un losange.
Les rectangles, losanges et carrés sont des parallélogrammes particuliers : ils ont toutes les propriétés du parallélogramme, plus des propriétés supplémentaires.
Propriété
| Figure | Côtés | Angles | Diagonales |
|---|---|---|---|
| Parallélogramme | opposés parallèles et de même longueur | opposés égaux, consécutifs supplémentaires | se coupent en leur milieu |
| Rectangle | idem | quatre angles droits | se coupent en leur milieu et de même longueur |
| Losange | quatre côtés de même longueur | opposés égaux | se coupent en leur milieu et perpendiculaires |
| Carré | quatre côtés de même longueur | quatre angles droits | se coupent en leur milieu, de même longueur et perpendiculaires |
Propriété
- Si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.
- Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.
- Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange.
- Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.
- Un parallélogramme qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1
- Données : « On sait que... » (ce que l'énoncé donne).
- Propriété : « Or, si un quadrilatère a ..., alors c'est un parallélogramme. »
- Conclusion : « Donc ABCD est un parallélogramme. »
Méthode 2
- Avec le compas : tracer l'arc de centre C de rayon AB et l'arc de centre A de rayon BC ; le point D est celui de leurs deux intersections situé de l'autre côté de la droite (AC) par rapport à B (côtés opposés de même longueur).
- Avec la règle et l'équerre : tracer la parallèle à (AB) passant par C et la parallèle à (BC) passant par A ; elles se coupent en D.
- Avec le centre : placer O milieu de [AC], puis D symétrique de B par rapport à O.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés