Parallélogrammes — cours de 5e
Définition, Propriétés du parallélogramme, Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, Construction d'un parallélogramme Lecture ≈ 4 min.
1. Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Dans le parallélogramme ABCD : (AB) // (DC) et (AD) // (BC). Les côtés [AB] et [DC] sont opposés, ainsi que [AD] et [BC]. Les segments [AC] et [BD] sont les diagonales.
Attention au nom : le parallélogramme ABCD se lit en « faisant le tour » : les sommets consécutifs sont A, B, C, D. Le quadrilatère ABDC n'est pas le même !
2. Propriétés du parallélogramme
Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :
- ses diagonales se coupent en leur milieu ;
- ses côtés opposés ont la même longueur : AB = DC et AD = BC ;
- ses angles opposés ont la même mesure : angle A = angle C et angle B = angle D ;
- deux angles consécutifs sont supplémentaires : angle A + angle B = 180°.
ABCD est un parallélogramme avec AB = 7 cm, BC = 4 cm et angle A = 110°. Alors DC = 7 cm, AD = 4 cm, angle C = 110°, angle B = angle D = 180 − 110 = 70°. Son périmètre est 2 × (7 + 4) = 22 cm.
Dans le parallélogramme EFGH de centre O, EG = 10 cm et FH = 6 cm. Alors OE = OG = 5 cm et OF = OH = 3 cm.
3. Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Un quadrilatère est un parallélogramme si l'une des conditions suivantes est vérifiée :
- ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (définition) ;
- ses diagonales se coupent en leur milieu ;
- ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux (quadrilatère non croisé) ;
- il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur (quadrilatère non croisé) ;
- il a un centre de symétrie.
- Données : « On sait que... » (ce que l'énoncé donne).
- Propriété : « Or, si un quadrilatère a ..., alors c'est un parallélogramme. »
- Conclusion : « Donc ABCD est un parallélogramme. »
Les segments [AC] et [BD] ont le même milieu O. Démontrer que ABCD est un parallélogramme.
On sait que les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD ont le même milieu O.
Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.
On construit A' et B' symétriques de A et B par rapport à un point O n'appartenant pas à la droite (AB). Démontrer que ABA'B' est un parallélogramme.
O est le milieu de [AA'] et de [BB'] (définition de la symétrie centrale). Donc les diagonales [AA'] et [BB'] du quadrilatère ABA'B' se coupent en leur milieu. Donc ABA'B' est un parallélogramme.
4. Construction d'un parallélogramme
- Avec le compas : tracer l'arc de centre C de rayon AB et l'arc de centre A de rayon BC ; le point D est celui de leurs deux intersections situé de l'autre côté de la droite (AC) par rapport à B (côtés opposés de même longueur).
- Avec la règle et l'équerre : tracer la parallèle à (AB) passant par C et la parallèle à (BC) passant par A ; elles se coupent en D.
- Avec le centre : placer O milieu de [AC], puis D symétrique de B par rapport à O.
5. Parallélogrammes particuliers
- Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
- Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
- Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. C'est à la fois un rectangle et un losange.
Les rectangles, losanges et carrés sont des parallélogrammes particuliers : ils ont toutes les propriétés du parallélogramme, plus des propriétés supplémentaires.
| Figure | Côtés | Angles | Diagonales |
|---|---|---|---|
| Parallélogramme | opposés parallèles et de même longueur | opposés égaux, consécutifs supplémentaires | se coupent en leur milieu |
| Rectangle | idem | quatre angles droits | se coupent en leur milieu et de même longueur |
| Losange | quatre côtés de même longueur | opposés égaux | se coupent en leur milieu et perpendiculaires |
| Carré | quatre côtés de même longueur | quatre angles droits | se coupent en leur milieu, de même longueur et perpendiculaires |
- Si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.
- Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.
- Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange.
- Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.
- Un parallélogramme qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré.
ABCD est un parallélogramme tel que AC = BD. Quelle est sa nature ?
ABCD est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur. Or, si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle. Donc ABCD est un rectangle.
Le quadrilatère MNPQ a ses diagonales [MP] et [NQ] qui se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et ont la même longueur. Quelle est sa nature ?
Diagonales se coupant en leur milieu : MNPQ est un parallélogramme. Diagonales perpendiculaires : c'est un losange. Diagonales de même longueur : c'est un rectangle. Étant à la fois losange et rectangle, MNPQ est un carré.