Exercices corrigés — Parallélogrammes (5e)

On sait que RSTU est un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux : RS = TU = 6 cm et RU = ST = 4 cm. Les côtés [RS] et [TU] sont bien opposés (ils n'ont pas de sommet commun), de même que [RU] et [ST].
Or, si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, alors c'est un parallélogramme.
Donc RSTU est un parallélogramme.
La précision « non croisé » est indispensable : un quadrilatère croisé peut avoir ses côtés opposés de même longueur sans être un parallélogramme. On en déduit que (RS) // (UT) et (RU) // (ST).

a) Dans le quadrilatère LNMP, les sommets consécutifs sont L, N, M, P : les diagonales sont donc [LM] et [NP], qui relient les sommets non consécutifs.
On sait que K est le milieu de [LM] et de [NP] : les diagonales du quadrilatère LNMP se coupent en leur milieu K.
Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme. Donc LNMP est un parallélogramme.
b) Dans LMNP, les côtés seraient [LM], [MN], [NP], [PL] : [LM] et [NP] seraient des côtés opposés qui se coupent en K, ce qui est impossible pour un parallélogramme (ses côtés opposés sont parallèles). L'ordre des lettres compte : LNMP est un parallélogramme, LMNP est un quadrilatère croisé.