Exercices corrigés — Parallélogrammes (5e)

Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure : angle D = angle B = 48°.
Deux angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme vaut 180°) : angle A = 180 − 48 = 132°, et angle C = angle A = 132° (angles opposés).
Vérification : 48 + 132 + 48 + 132 = 360°, la somme des angles d'un quadrilatère.
Les côtés opposés ont la même longueur : DC = AB = 5 cm et BC = AD = 3 cm. Périmètre : 2 × (5 + 3) = 16 cm.

Le centre O d'un parallélogramme est le point d'intersection de ses diagonales, et les diagonales se coupent en leur milieu.
Donc OA = OC = AC ÷ 2 = 9 ÷ 2 = 4,5 cm et OB = OD = BD ÷ 2 = 5 ÷ 2 = 2,5 cm.
Les côtés opposés ont la même longueur : DC = AB = 6 cm.
Angles : deux angles consécutifs sont supplémentaires, angle B = 180 − 65 = 115° ; les angles opposés sont égaux, angle C = angle A = 65° (et angle D = angle B = 115°).

On sait que RSTU est un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux : RS = TU = 6 cm et RU = ST = 4 cm. Les côtés [RS] et [TU] sont bien opposés (ils n'ont pas de sommet commun), de même que [RU] et [ST].
Or, si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, alors c'est un parallélogramme.
Donc RSTU est un parallélogramme.
La précision « non croisé » est indispensable : un quadrilatère croisé peut avoir ses côtés opposés de même longueur sans être un parallélogramme. On en déduit que (RS) // (UT) et (RU) // (ST).

a) Dans le quadrilatère LNMP, les sommets consécutifs sont L, N, M, P : les diagonales sont donc [LM] et [NP], qui relient les sommets non consécutifs.
On sait que K est le milieu de [LM] et de [NP] : les diagonales du quadrilatère LNMP se coupent en leur milieu K.
Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme. Donc LNMP est un parallélogramme.
b) Dans LMNP, les côtés seraient [LM], [MN], [NP], [PL] : [LM] et [NP] seraient des côtés opposés qui se coupent en K, ce qui est impossible pour un parallélogramme (ses côtés opposés sont parallèles). L'ordre des lettres compte : LNMP est un parallélogramme, LMNP est un quadrilatère croisé.

On sait que le quadrilatère est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur (5 cm). Or, si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange. Donc c'est un losange : ses quatre côtés mesurent 5 cm.
On sait aussi que ce parallélogramme a un angle droit. Or, si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle. Donc c'est un rectangle : ses quatre angles sont droits.
Un quadrilatère qui est à la fois un losange et un rectangle a quatre côtés égaux et quatre angles droits : c'est un carré.
Conclusion : ce parallélogramme est un carré de 5 cm de côté.

a) ABCD est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs, [AB] et [BC], ont la même longueur. Or, si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange. Donc ABCD est un losange.
b) ABCD est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur. Or, si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle. Donc ABCD est un rectangle. Étant à la fois un losange et un rectangle, ABCD est un carré.
c) Non. Pour conclure, il faudrait d'abord savoir que EFGH est un parallélogramme, par exemple que ses diagonales se coupent en leur milieu. Sans cette information, on peut construire un quadrilatère aux diagonales perpendiculaires et de même longueur qui n'est pas un carré : il suffit de décaler le point d'intersection hors des milieux.
Les propriétés « diagonales perpendiculaires » et « diagonales de même longueur » ne suffisent que pour un parallélogramme.

Dans le parallélogramme ABCD, les côtés [AB] et [DC] sont parallèles et de même longueur : le déplacement de B vers A est le même que celui de C vers D.
Pour aller de B(4 ; 2) à A(1 ; 1) : 1 − 4 = −3 en abscisse, 1 − 2 = −1 en ordonnée. On applique ce déplacement à C(3 ; 5) : D(3 − 3 ; 5 − 1) = D(0 ; 4).
Vérification : les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Milieu de [AC] : ((1 + 3) ÷ 2 ; (1 + 5) ÷ 2) = (2 ; 3). Milieu de [BD] : ((4 + 0) ÷ 2 ; (2 + 4) ÷ 2) = (2 ; 3).
Les deux diagonales ont le même milieu, donc ABCD est bien un parallélogramme. Attention à l'ordre des lettres : avec D(0 ; 4), c'est ABCD qui est un parallélogramme, pas ABDC.

a) Vrai : un carré a quatre côtés de même longueur, c'est donc un losange (avec en plus quatre angles droits).
b) Faux : un rectangle de 5 cm sur 3 cm a quatre angles droits mais pas quatre côtés égaux. Un rectangle n'est un carré que si deux côtés consécutifs sont égaux.
c) Faux en général : les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, mais elles n'ont la même longueur que si le losange est un carré. Un losange « aplati » a une grande et une petite diagonale.
d) Vrai : le point d'intersection des diagonales est un centre de symétrie, car les diagonales se coupent en leur milieu. e) Faux : un trapèze a deux côtés parallèles sans être un parallélogramme ; il faut que les côtés opposés soient parallèles deux à deux.