Exercices corrigés — Calcul littéral (5e)

a) Le signe × se supprime devant une lettre, et l'on écrit le nombre en premier : 6 × a × b = 6ab.
b) x × 3 = 3x (le nombre devant la lettre) et 2 × y = 2y, donc x × 3 + 2 × y = 3x + 2y. Le signe + ne se supprime jamais.
c) Le signe × se supprime aussi devant une parenthèse, en plaçant le nombre devant : (2 + t) × 5 = 5(2 + t).
d) Un produit de facteurs identiques s'écrit avec une puissance : n × n × n = n³. Attention : n³ n'est pas 3n ; pour n = 2, n³ = 8 et 3n = 6.

On remplace la lettre par sa valeur en remettant les signes × sous-entendus, puis on respecte les priorités.
Pour x = 4 : A = 5 × 4 − 3 = 20 − 3 = 17. B = 4 × 4 + 2 × 4 = 16 + 8 = 24.
Pour x = 0,5 : A = 5 × 0,5 − 3 = 2,5 − 3 = −0,5 (un résultat négatif est possible). B = 0,5 × 0,5 + 2 × 0,5 = 0,25 + 1 = 1,25.
Piège : x² signifie x × x, et non 2x ; pour x = 4, x² = 16 alors que 2x = 8.

a) 4 × 5 = 20 ; le double de 4 est 8, 20 − 8 = 12 ; 12 + 6 = 18. Le programme donne 18.
b) Nombre de départ : x. Étape 1 : 5x. Étape 2 : le double de x est 2x, on obtient 5x − 2x. Étape 3 : 5x − 2x + 6.
Réduction : 5x − 2x = 3x (on regroupe les termes en x), donc l'expression réduite est 3x + 6.
c) Pour x = 4 : 3 × 4 + 6 = 12 + 6 = 18. On retrouve le résultat de a). L'expression réduite montre que le programme revient à tripler le nombre et à ajouter 6, quel que soit le nombre choisi.

Réduire, c'est regrouper les termes de même nature : les termes en x ensemble, les nombres ensemble, les termes en y² ensemble.
a) Termes en x : 8x − 5x = 3x. Nombres : 3 + 9 = 12. Donc 8x + 3 − 5x + 9 = 3x + 12. On ne peut pas aller plus loin : 3x et 12 ne sont pas de même nature.
b) Termes en y² : 2y² − y² = y² (car y² = 1y²). Termes en y : 4y + y = 5y. Donc 2y² + 4y − y² + y = y² + 5y. On n'additionne pas y² et 5y.
c) 7 − 7 = 0, il reste 3t. Donc 7 + 3t − 7 = 3t.

On utilise k(a + b) = ka + kb : on multiplie le nombre devant la parenthèse par chaque terme de la parenthèse.
a) 6(x + 2) = 6 × x + 6 × 2 = 6x + 12.
b) 3(2a − 5) = 3 × 2a − 3 × 5 = 6a − 15. Puis on réduit avec le 4a : 6a − 15 + 4a = 10a − 15.
c) 2(x + 1) = 2x + 2 et 5(x + 3) = 5x + 15. Somme : 2x + 2 + 5x + 15 = 7x + 17. Vérification pour x = 1 : 2 × 2 + 5 × 4 = 4 + 20 = 24, et 7 × 1 + 17 = 24.

a) Le périmètre d'un rectangle est 2 × (longueur + largeur) : P = 2(x + 3 + x) = 2(2x + 3). En développant : P = 4x + 6. Autre écriture : P = (x + 3) + x + (x + 3) + x = 4x + 6.
b) L'aire est longueur × largeur : A = (x + 3) × x = x(x + 3). En développant : A = x × x + x × 3 = x² + 3x.
c) Pour x = 2 : P = 4 × 2 + 6 = 14 cm et A = 2 × 2 + 3 × 2 = 4 + 6 = 10 cm².
Vérification directe : le rectangle mesure 2 cm sur 5 cm ; périmètre 2 × (2 + 5) = 14 cm, aire 2 × 5 = 10 cm². L'expression littérale permet de calculer le périmètre et l'aire pour n'importe quelle valeur de x.

Factoriser, c'est lire k(a + b) = ka + kb de droite à gauche : on cherche un facteur commun aux deux termes et on le met devant une parenthèse.
a) 8a = 4 × 2a et 12 = 4 × 3 : le facteur commun est 4. 8a − 12 = 4(2a − 3).
b) 7x = 7 × x et 7 = 7 × 1 : 7x + 7 = 7(x + 1). Ne pas oublier le 1.
c) 9y = 3 × 3y et 15 = 3 × 5 : 9y + 15 = 3(3y + 5). d) 10 = 2 × 5 et 4t = 2 × 2t : 10 − 4t = 2(5 − 2t). Vérification en développant : 2 × 5 − 2 × 2t = 10 − 4t.

On calcule séparément les deux membres pour chaque valeur.
Pour x = 3 : membre de gauche, 5 × 3 − 2 = 15 − 2 = 13 ; membre de droite, 3 × 3 + 6 = 9 + 6 = 15. Comme 13 ≠ 15, l'égalité est fausse pour x = 3.
Pour x = 4 : membre de gauche, 5 × 4 − 2 = 20 − 2 = 18 ; membre de droite, 3 × 4 + 6 = 12 + 6 = 18. Les deux membres sont égaux : l'égalité est vraie pour x = 4.
On dit que 4 est une solution de l'égalité. Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres ; tester une valeur ne dit rien sur les autres.