Calcul littéral — cours de 5e
Expression littérale, Conventions d'écriture, Substituer une valeur (calculer la valeur d'une expression), Réduire une expression Lecture ≈ 5 min.
1. Expression littérale
Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont remplacés par des lettres. Ces lettres sont appelées variables : elles désignent des nombres qui peuvent prendre différentes valeurs.
Le périmètre d'un carré de côté c est P = 4 × c.
L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur l est A = L × l.
Le prix de n cahiers à 2,50 € l'un est 2,50 × n.
2. Conventions d'écriture
- Le signe × peut être supprimé devant une lettre ou devant une parenthèse : 4 × c = 4c ; 3 × (a + b) = 3(a + b) ; a × b = ab.
- On ne supprime pas le signe × entre deux nombres : 4 × 5 ne s'écrit pas 45 !
- On écrit le nombre avant la lettre : c × 4 s'écrit 4c.
- 1 × a s'écrit a ; 0 × a = 0.
- a × a s'écrit a2 (« a au carré ») ; a × a × a s'écrit a3 (« a au cube »).
Simplifier les écritures : 5 × x × 2 = 10x ; y × y × 3 = 3y2 ; (a + 2) × 7 = 7(a + 2) ; 1 × b + 4 = b + 4.
3. Substituer une valeur (calculer la valeur d'une expression)
- Remplacer chaque lettre par sa valeur numérique, en remettant les signes × qui avaient été supprimés.
- Effectuer les calculs en respectant les priorités.
Calculer A = 3x + 5 pour x = 4.
A = 3 × 4 + 5 = 12 + 5 = 17.
Calculer B = 2a2 − b pour a = 3 et b = 7.
B = 2 × 3 × 3 − 7 = 18 − 7 = 11.
Calculer C = 5(x + 2) pour x = 1,5.
C = 5 × (1,5 + 2) = 5 × 3,5 = 17,5.
4. Réduire une expression
Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible en regroupant les termes « de même nature » : les termes en x ensemble, les termes en x2 ensemble, les nombres ensemble.
Pour tous nombres a, b et x : ax + bx = (a + b)x. Par exemple 3x + 5x = 8x et 7y − 2y = 5y.
Réduire D = 4x + 7 + 3x − 2.
D = 4x + 3x + 7 − 2
D = 7x + 5
Réduire E = 2a2 + 5a + a2 − 3a + 4.
E = 3a2 + 2a + 4
Attention : 7x + 5 ne peut pas se réduire davantage (7x et 5 ne sont pas de même nature), et 3a2 + 2a non plus.
5. Développer k(a + b)
Pour tous nombres k, a et b :
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb
Développer, c'est transformer un produit en somme (ou différence). Factoriser, c'est transformer une somme en produit.
F = 3(x + 5) = 3 × x + 3 × 5 = 3x + 15
G = 7(2y − 4) = 7 × 2y − 7 × 4 = 14y − 28
H = x(x + 6) = x × x + x × 6 = x2 + 6x
I = 4(x + 3) + 2x − 5
I = 4x + 12 + 2x − 5
I = 6x + 7
J = 5x + 20 = 5 × x + 5 × 4 = 5(x + 4)
K = 6a − 9 = 3 × 2a − 3 × 3 = 3(2a − 3)
6. Tester une égalité
Une égalité est formée de deux expressions séparées par le signe =. Elle peut être vraie ou fausse selon les valeurs attribuées aux lettres.
- Calculer séparément la valeur du membre de gauche.
- Calculer séparément la valeur du membre de droite.
- Comparer : si les deux valeurs sont égales, l'égalité est vraie pour cette valeur ; sinon elle est fausse.
L'égalité 3x + 4 = 2x + 9 est-elle vraie pour x = 5 ? pour x = 2 ?
Pour x = 5 : membre de gauche : 3 × 5 + 4 = 19 ; membre de droite : 2 × 5 + 9 = 19. Les deux membres sont égaux : l'égalité est vraie pour x = 5.
Pour x = 2 : membre de gauche : 3 × 2 + 4 = 10 ; membre de droite : 2 × 2 + 9 = 13. 10 ≠ 13 : l'égalité est fausse pour x = 2.
Le nombre 3 est-il solution de l'égalité x2 + 1 = 4x − 2 ?
Gauche : 3 × 3 + 1 = 10. Droite : 4 × 3 − 2 = 10. Oui, 3 est une solution.
7. Produire une expression littérale
Pour traduire un programme de calcul, on nomme le nombre de départ x puis on applique les étapes une à une.
Programme : « Choisir un nombre. Lui ajouter 3. Multiplier le résultat par 4. Soustraire 12. »
Nombre de départ : x. Étape 1 : x + 3. Étape 2 : 4(x + 3). Étape 3 : 4(x + 3) − 12.
En développant : 4x + 12 − 12 = 4x. Le programme revient toujours à multiplier le nombre de départ par 4.