Exercices corrigés — Translations et rotations (4e)

La translation qui transforme A en B applique à tout point le déplacement de A vers B. De A(2 ; −1) à B(5 ; 3) : abscisse 5 − 2 = +3, ordonnée 3 − (−1) = +4. Chaque point est donc déplacé de 3 vers la droite et de 4 vers le haut.
M(0 ; 0) a pour image M'(0 + 3 ; 0 + 4) = M'(3 ; 4).
N(−3 ; 4) a pour image N'(−3 + 3 ; 4 + 4) = N'(0 ; 8).
P(1 ; 1) a pour image P'(4 ; 5). Vérification : le segment [MM'] a la même direction, le même sens et la même longueur que [AB] ; ABM'M est un parallélogramme.

a) De C(4 ; 7) à D(1 ; 9) : abscisse 1 − 4 = −3, ordonnée 9 − 7 = +2. La translation déplace de 3 vers la gauche et de 2 vers le haut.
Image de E(10 ; −2) : E'(10 − 3 ; −2 + 2) = E'(7 ; 0).
b) La translation qui transforme D en C fait le déplacement inverse : +3 en abscisse, −2 en ordonnée (3 vers la droite, 2 vers le bas).
Image de E : E''(10 + 3 ; −2 − 2) = E''(13 ; −4). Appliquer les deux translations l'une après l'autre ramène tout point sur lui-même.

a) De R(−1 ; 0) à S(3 ; 1) : +4 en abscisse, +1 en ordonnée. T' = (2 + 4 ; 4 + 1) = T'(6 ; 5).
b) Propriété : si M n'est pas sur (RS) et M' est son image par la translation qui transforme R en S, alors RSM'M est un parallélogramme. T n'est pas sur (RS), donc RST'T est un parallélogramme : [RS] et [TT'] sont parallèles et de même longueur.
c) Milieu de [RT'] : (−1 + 62 ; 0 + 52) = (2,5 ; 2,5). Milieu de [ST] : (3 + 22 ; 1 + 42) = (2,5 ; 2,5).
Les diagonales [RT'] et [ST] du quadrilatère RST'T ont le même milieu : on retrouve qu'il s'agit d'un parallélogramme, ce qui confirme la réponse b).

Rotation de 180° de centre O : c'est la symétrie centrale de centre O, les deux coordonnées deviennent leurs opposées. Image : (−2 ; −5).
Quart de tour de centre O dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre) : le point (x ; y) a pour image (−y ; x). Image de M(2 ; 5) : (−5 ; 2).
Vérification : OM² = 2² + 5² = 29 et OM'² = (−5)² + 2² = 29, les distances au centre sont égales, comme l'exige une rotation.
Quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre : (x ; y) a pour image (y ; −x), soit (5 ; −2). Les deux quarts de tour donnent des points symétriques par rapport à O : (−5 ; 2) et (5 ; −2), ce qui est cohérent car ils diffèrent d'un demi-tour.

Dans un carré de centre O, les quatre sommets sont sur un même cercle de centre O, et deux sommets consécutifs sont vus de O sous un angle de 360 ÷ 4 = 90°.
a) La rotation de 90° dans le sens direct envoie chaque sommet sur le suivant dans l'ordre A, B, C, D : l'image de A est B.
b) La rotation de 180° de centre O est la symétrie centrale de centre O : A a pour image C et B pour image D. L'image du segment [AB] est donc le segment [CD], de même longueur.
c) Pour aller de B à A, il faut tourner de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre (sens indirect) autour de O ; c'est aussi la rotation de 270° dans le sens direct. d) A a pour image C par la symétrie centrale de centre O, c'est-à-dire la rotation de centre O et d'angle 180°.

Les translations et les rotations conservent les longueurs, les angles et les aires : l'image d'une figure est une figure superposable.
L'image du triangle par la translation est un triangle de périmètre 17 cm et d'aire 12 cm². Il en va de même pour son image par la rotation de 70°, quel que soit l'angle de la rotation.
Seule la position change : la translation « glisse » le triangle sans le tourner, la rotation le fait pivoter de 70° autour du centre.
L'image d'une droite par une translation est une droite parallèle à la droite de départ (ou confondue avec elle si la droite a la direction de la translation). Pour une rotation de 70°, l'image d'une droite est une droite qui n'est pas parallèle : elle a tourné de 70°.

Autour d'un sommet commun à 6 triangles équilatéraux, les 6 angles de 60° remplissent le tour complet : 6 × 60 = 360°.
La rotation de centre ce sommet et d'angle 60° envoie chaque triangle sur son voisin : le pavage est inchangé dans son ensemble.
Les rotations d'angle 120°, 180°, 240° et 300° (multiples de 60°) laissent aussi le pavage inchangé, car elles s'obtiennent en répétant la rotation de 60°.
En revanche, une rotation de 90° autour de ce sommet ne convient pas : l'image d'un triangle chevaucherait deux triangles du pavage.

a) De M₀ à M₃, on applique trois fois la translation de 4 cm vers la droite : c'est la translation de 3 × 4 = 12 cm vers la droite.
b) De M₃ à M₁, on recule de deux motifs : c'est la translation de 2 × 4 = 8 cm vers la gauche. Enchaîner deux translations de même direction donne une translation dont la longueur s'ajoute ou se retranche selon les sens.
c) Un carré de 2 cm de côté a pour image son voisin de droite par : la translation de 2 cm vers la droite ; la symétrie axiale dont l'axe est le côté commun aux deux carrés ; la symétrie centrale de centre le milieu de ce côté commun ; la rotation d'un quart de tour autour d'un sommet du côté commun, dans le sens qui amène le carré à droite (sens des aiguilles d'une montre autour du sommet du bas, sens direct autour du sommet du haut).
Ces transformations donnent la même image parce que le carré est très symétrique ; avec un motif dessiné dans le carré, elles se distingueraient par l'orientation du motif image.