Translations et rotations — cours de 4e
Rappels, Translation, Rotation, Propriétés de conservation Lecture ≈ 5 min.
1. Rappels : symétries
Propriété (rappels)On connaît déjà deux transformations du plan :
- la symétrie axiale d'axe (d) : l'image d'un point M est le point M' tel que (d) est la médiatrice de [MM'] (« pliage ») ;
- la symétrie centrale de centre O : l'image de M est le point M' tel que O est le milieu de [MM'] (« demi-tour »).
2. Translation
DéfinitionSoient A et B deux points distincts. La translation qui transforme A en B est le « glissement » qui déplace toutes les figures :
- dans la direction de la droite (AB) ;
- dans le sens de A vers B ;
- d'une longueur égale à AB.
PropriétéSoit M un point et M' son image par la translation qui transforme A en B.
Si M n'est pas sur la droite (AB), alors ABM'M est un parallélogramme. Si M est sur (AB), les points sont alignés et MM' = AB avec le même sens.
Autrement dit : le segment [MM'] a la même direction, le même sens et la même longueur que [AB].
Si M n'est pas sur la droite (AB), alors ABM'M est un parallélogramme. Si M est sur (AB), les points sont alignés et MM' = AB avec le même sens.
Autrement dit : le segment [MM'] a la même direction, le même sens et la même longueur que [AB].
Méthode (construire l'image d'un point par une translation)
- Tracer la parallèle à (AB) passant par M.
- Reporter au compas la longueur AB sur cette parallèle, à partir de M, dans le sens de A vers B.
ExempleDans un repère, A(1 ; 2) et B(4 ; 3). La translation qui transforme A en B déplace de +3 en abscisse et de +1 en ordonnée. L'image de M(−2 ; 5) est M'(−2 + 3 ; 5 + 1) = M'(1 ; 6). L'image de N(0 ; 0) est N'(3 ; 1).
ExempleLe quadrilatère ABM'M, avec A(1 ; 2), B(4 ; 3), M(−2 ; 5) et M'(1 ; 6), est un parallélogramme : les côtés [AB] et [MM'] sont parallèles et de même longueur.
3. Rotation
DéfinitionLa rotation de centre O, d'angle α et de sens donné (sens des aiguilles d'une montre ou sens inverse, dit sens « direct ») transforme un point M (différent de O) en le point M' tel que :
- OM' = OM (M' est sur le cercle de centre O passant par M) ;
- l'angle MOM' = α ;
- on tourne de M vers M' dans le sens indiqué.
Propriété
- La rotation de centre O et d'angle 180° est la symétrie centrale de centre O (le sens n'a pas d'importance).
- Une rotation d'angle 90° s'appelle un quart de tour.
- Une rotation d'angle 360° ramène chaque point sur lui-même.
Méthode (construire l'image d'un point par une rotation)
- Tracer le cercle (ou l'arc) de centre O passant par M.
- Avec le rapporteur, construire l'angle MOM' de mesure α dans le sens demandé, en plaçant le centre du rapporteur sur O.
- M' est le point d'intersection du second côté de l'angle avec le cercle.
ExempleDans un repère orthonormé, l'image du point M(3 ; 1) par le quart de tour de centre O (origine) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est M'(−1 ; 3). On vérifie : OM = √9 + 1 = √10 et OM' = √1 + 9 = √10 ; le quart de tour dans le sens direct transforme (x ; y) en (−y ; x).
ExempleABC est un triangle équilatéral de centre O (point de concours de ses médianes), ses sommets étant nommés dans le sens direct. La rotation de centre O et d'angle 120° dans le sens direct transforme alors A en B, B en C et C en A : le triangle est « invariant » par cette rotation.
4. Propriétés de conservation
PropriétéLes translations et les rotations, comme les symétries, conservent :
Contrairement à la symétrie axiale, la translation et la rotation conservent aussi l'orientation des figures (elles ne « retournent » pas la figure).
- les longueurs (l'image d'un segment est un segment de même longueur) ;
- les angles ;
- l'alignement (l'image d'une droite est une droite) et le parallélisme ;
- les aires ;
- les milieux (l'image du milieu d'un segment est le milieu du segment image).
Contrairement à la symétrie axiale, la translation et la rotation conservent aussi l'orientation des figures (elles ne « retournent » pas la figure).
ExempleLe triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par une rotation. Si AB = 5 cm, l'angle BAC = 40° et l'aire de ABC vaut 8 cm2, alors A'B' = 5 cm, l'angle B'A'C' = 40° et l'aire de A'B'C' vaut 8 cm2.
5. Frises et pavages
Définition
- Une frise est une bande dans laquelle un motif se répète par translation (toujours la même, dans une direction), éventuellement combinée à des symétries ou des rotations.
- Un pavage est un recouvrement du plan entier par des figures (les pavés) sans trou ni chevauchement, obtenu en répétant un motif par des translations (dans au moins deux directions), des rotations ou des symétries.
ExempleLe carrelage d'une salle de bain formé de carrés identiques est un pavage : chaque carreau est l'image de son voisin par une translation. Un pavage d'hexagones réguliers (nid d'abeilles) peut aussi être décrit par des translations, et chaque hexagone est invariant par la rotation de 60° autour de son centre.
Méthode (décrire un motif)Pour identifier la transformation qui envoie un motif sur un autre dans une frise ou un pavage :
- si les deux motifs ont la même orientation et sont simplement « décalés » : c'est une translation ;
- si un motif semble « tourné » : c'est une rotation (chercher le centre, souvent un sommet commun ou le centre d'un pavé) ;
- si un motif semble « retourné » comme dans un miroir : c'est une symétrie axiale.