4e · Fiche de révision

Translations et rotations — fiche résumé

L'essentiel du chapitre en une page : 7 points à retenir et 3 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.

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À retenir

1. Rappels : symétries

Propriété (rappels)

On connaît déjà deux transformations du plan :

la symétrie axiale d'axe (d) : l'image d'un point M est le point M' tel que (d) est la médiatrice de [MM'] (« pliage ») ;
la symétrie centrale de centre O : l'image de M est le point M' tel que O est le milieu de [MM'] (« demi-tour »).

Ces deux transformations conservent les longueurs, les angles, les aires et l'alignement.

2. Translation

Définition

Soient A et B deux points distincts. La translation qui transforme A en B est le « glissement » qui déplace toutes les figures :

dans la direction de la droite (AB) ;
dans le sens de A vers B ;
d'une longueur égale à AB.

Ces trois informations (direction, sens, longueur) définissent le vecteur de la translation, que l'on représente par une flèche de A vers B.

Propriété

Soit M un point et M' son image par la translation qui transforme A en B.
Si M n'est pas sur la droite (AB), alors ABM'M est un parallélogramme. Si M est sur (AB), les points sont alignés et MM' = AB avec le même sens.
Autrement dit : le segment [MM'] a la même direction, le même sens et la même longueur que [AB].

3. Rotation

Définition

La rotation de centre O, d'angle α et de sens donné (sens des aiguilles d'une montre ou sens inverse, dit sens « direct ») transforme un point M (différent de O) en le point M' tel que :

OM' = OM (M' est sur le cercle de centre O passant par M) ;
l'angle MOM' = α ;
on tourne de M vers M' dans le sens indiqué.

Le centre O est sa propre image. Une rotation est définie par son centre, son angle et son sens.

Propriété

La rotation de centre O et d'angle 180° est la symétrie centrale de centre O (le sens n'a pas d'importance).
Une rotation d'angle 90° s'appelle un quart de tour.
Une rotation d'angle 360° ramène chaque point sur lui-même.

4. Propriétés de conservation

Propriété

Les translations et les rotations, comme les symétries, conservent :

les longueurs (l'image d'un segment est un segment de même longueur) ;
les angles ;
l'alignement (l'image d'une droite est une droite) et le parallélisme ;
les aires ;
les milieux (l'image du milieu d'un segment est le milieu du segment image).

L'image d'un cercle est un cercle de même rayon ; l'image d'un triangle est un triangle superposable.
Contrairement à la symétrie axiale, la translation et la rotation conservent aussi l'orientation des figures (elles ne « retournent » pas la figure).

5. Frises et pavages

Définition

Une frise est une bande dans laquelle un motif se répète par translation (toujours la même, dans une direction), éventuellement combinée à des symétries ou des rotations.
Un pavage est un recouvrement du plan entier par des figures (les pavés) sans trou ni chevauchement, obtenu en répétant un motif par des translations (dans au moins deux directions), des rotations ou des symétries.

Les méthodes

Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.

Méthode 1Méthode (construire l'image d'un point par une translation)

Tracer la parallèle à (AB) passant par M.
Reporter au compas la longueur AB sur cette parallèle, à partir de M, dans le sens de A vers B.

Sur un quadrillage : on lit le déplacement de A à B (par exemple « 3 carreaux à droite et 2 carreaux vers le haut ») et on applique le même déplacement à M.

Méthode 2Méthode (construire l'image d'un point par une rotation)

Tracer le cercle (ou l'arc) de centre O passant par M.
Avec le rapporteur, construire l'angle MOM' de mesure α dans le sens demandé, en plaçant le centre du rapporteur sur O.
M' est le point d'intersection du second côté de l'angle avec le cercle.

Pour construire l'image d'une figure (triangle, polygone), on construit l'image de chaque sommet puis on relie les images.

Méthode 3Méthode (décrire un motif)

Pour identifier la transformation qui envoie un motif sur un autre dans une frise ou un pavage :

si les deux motifs ont la même orientation et sont simplement « décalés » : c'est une translation ;
si un motif semble « tourné » : c'est une rotation (chercher le centre, souvent un sommet commun ou le centre d'un pavé) ;
si un motif semble « retourné » comme dans un miroir : c'est une symétrie axiale.

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