Exercices corrigés — Théorème de Pythagore (4e)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

3 exercices de niveau « Challenge ». Voir les 9 exercices.

Exercice 7 Challenge

ABC est un triangle isocèle en A avec AB = AC = 10 cm et BC = 12 cm. La hauteur issue de A coupe [BC] en son milieu H. Calculer AH.

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Correction détaillée

La hauteur issue de A est perpendiculaire à (BC) : le triangle ABH est rectangle en H, et son hypoténuse est [AB].
H est le milieu de [BC], donc BH = BC ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 cm.
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABH : AB² = AH² + BH².
10² = AH² + 6², soit 100 = AH² + 36, donc AH² = 100 − 36 = 64.
AH = √64 = 8.
La hauteur AH mesure 8 cm.

Exercice 8 Challenge

Un carré a pour côté 6 cm. Calculer la longueur de sa diagonale (valeur exacte puis arrondie au dixième).

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Correction détaillée

Appelons ABCD le carré. Sa diagonale [AC] est l'hypoténuse du triangle ABC, rectangle en B puisque les angles d'un carré sont droits.
D'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72.
Valeur exacte : AC = √72 cm.
À la calculatrice, √72 ≈ 8,485…, donc la diagonale mesure environ 8,5 cm au dixième près.

Exercice 9 Challenge

Un rectangle a une largeur de 5 cm et une diagonale de 13 cm. Calculer sa longueur, puis son périmètre.

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Correction détaillée

Appelons ABCD le rectangle, avec AB sa longueur et BC = 5 cm sa largeur. La diagonale [AC] est l'hypoténuse du triangle ABC, rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC².
13² = AB² + 5², soit 169 = AB² + 25, donc AB² = 169 − 25 = 144.
AB = √144 = 12 : la longueur mesure 12 cm.
Périmètre = 2 × (longueur + largeur) = 2 × (12 + 5) = 2 × 17 = 34 cm.

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