Exercices corrigés — Théorème de Pythagore (4e)

Le triangle ABC est rectangle en B : son hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, c'est-à-dire [AC].
D'après le théorème de Pythagore : AC² = BA² + BC².
AC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
AC = √225 = 15, car 15² = 225.
La longueur AC mesure 15 cm.

Le triangle KLM est rectangle en L : son hypoténuse est [KM]. On cherche KL, qui est un côté de l'angle droit.
D'après le théorème de Pythagore : KM² = KL² + LM².
7,5² = KL² + 4,5², soit 56,25 = KL² + 20,25.
On isole le carré cherché : KL² = 56,25 − 20,25 = 36.
KL = √36 = 6, car 6² = 36.
La longueur KL mesure 6 cm.

Le triangle EFG est rectangle en F : son hypoténuse est [EG].
D'après le théorème de Pythagore : EG² = EF² + FG² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34.
34 n'est pas un carré parfait : la valeur exacte est EG = √34 cm.
À la calculatrice, √34 ≈ 5,830…, donc EG ≈ 5,8 cm au millimètre près.

Le mur est vertical et le sol horizontal : le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle, dont l'hypoténuse est l'échelle (6,5 m). Notons h la hauteur cherchée.
D'après le théorème de Pythagore : 6,5² = h² + 2,5².
42,25 = h² + 6,25, donc h² = 42,25 − 6,25 = 36.
h = √36 = 6.
L'échelle touche le mur à 6 m de hauteur.

Le plus grand côté est [PR] (3,5 cm) : si le triangle est rectangle, l'angle droit est au sommet opposé, c'est-à-dire en Q.
D'une part : PR² = 3,5² = 12,25.
D'autre part : PQ² + QR² = 2,1² + 2,8² = 4,41 + 7,84 = 12,25.
On constate que PR² = PQ² + QR².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle PQR est rectangle en Q.

Le plus grand côté est [XZ] (11 cm).
D'une part : XZ² = 11² = 121.
D'autre part : XY² + YZ² = 7² + 9² = 49 + 81 = 130.
121 ≠ 130, donc XZ² ≠ XY² + YZ².
Si le triangle était rectangle, l'égalité de Pythagore serait vérifiée ; elle ne l'est pas. D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle XYZ n'est pas rectangle.

La hauteur issue de A est perpendiculaire à (BC) : le triangle ABH est rectangle en H, et son hypoténuse est [AB].
H est le milieu de [BC], donc BH = BC ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 cm.
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABH : AB² = AH² + BH².
10² = AH² + 6², soit 100 = AH² + 36, donc AH² = 100 − 36 = 64.
AH = √64 = 8.
La hauteur AH mesure 8 cm.

Appelons ABCD le carré. Sa diagonale [AC] est l'hypoténuse du triangle ABC, rectangle en B puisque les angles d'un carré sont droits.
D'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72.
Valeur exacte : AC = √72 cm.
À la calculatrice, √72 ≈ 8,485…, donc la diagonale mesure environ 8,5 cm au dixième près.

Appelons ABCD le rectangle, avec AB sa longueur et BC = 5 cm sa largeur. La diagonale [AC] est l'hypoténuse du triangle ABC, rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC².
13² = AB² + 5², soit 169 = AB² + 25, donc AB² = 169 − 25 = 144.
AB = √144 = 12 : la longueur mesure 12 cm.
Périmètre = 2 × (longueur + largeur) = 2 × (12 + 5) = 2 × 17 = 34 cm.