Théorème de Pythagore — cours de 4e
Racine carrée, Vocabulaire du triangle rectangle, Théorème de Pythagore, Réciproque du théorème de Pythagore Lecture ≈ 4 min.
1. Racine carrée
DéfinitionSoit a un nombre positif. La racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif dont le carré est égal à a : (√a)2 = a.
Exemples : √25 = 5 car 52 = 25 ; √0 = 0 ; √1 = 1 ; √2,25 = 1,5.
Un nombre négatif n'a pas de racine carrée.
Exemples : √25 = 5 car 52 = 25 ; √0 = 0 ; √1 = 1 ; √2,25 = 1,5.
Un nombre négatif n'a pas de racine carrée.
| a | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 225 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| √a | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 15 |
PropriétéSi a est un nombre entier qui n'est pas un carré parfait, √a n'est pas un nombre décimal : on en donne une valeur approchée avec la calculatrice (touche √). Exemples : √2 ≈ 1,414 ; √10 ≈ 3,162 ; √50 ≈ 7,07. La valeur exacte est √a.
2. Vocabulaire du triangle rectangle
DéfinitionDans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus long des trois côtés. Les deux autres côtés sont les côtés de l'angle droit (ou cathètes).
Dans le triangle ABC rectangle en A, l'hypoténuse est [BC].
Dans le triangle ABC rectangle en A, l'hypoténuse est [BC].
3. Théorème de Pythagore
Propriété (théorème de Pythagore)Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si ABC est rectangle en A, alors BC2 = AB2 + AC2
Si ABC est rectangle en A, alors BC2 = AB2 + AC2
Méthode (calculer une longueur)
- Annoncer : « Le triangle ABC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore : BC2 = AB2 + AC2. »
- Remplacer les longueurs connues par leurs valeurs.
- Isoler le carré de la longueur cherchée (addition pour l'hypoténuse, soustraction pour un côté de l'angle droit).
- Prendre la racine carrée et donner la valeur exacte puis, si besoin, une valeur approchée avec l'unité.
Exemple (calcul de l'hypoténuse)Le triangle ABC est rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calculer BC.
Le triangle ABC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore :
BC2 = AB2 + AC2
BC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
BC = √100 = 10 cm.
Le triangle ABC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore :
BC2 = AB2 + AC2
BC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
BC = √100 = 10 cm.
Exemple (calcul d'un côté de l'angle droit)Le triangle DEF est rectangle en E avec DF = 13 cm et DE = 5 cm. Calculer EF.
Le triangle DEF est rectangle en E, donc son hypoténuse est [DF]. D'après le théorème de Pythagore :
DF2 = DE2 + EF2
132 = 52 + EF2
169 = 25 + EF2
EF2 = 169 − 25 = 144
EF = √144 = 12 cm.
Le triangle DEF est rectangle en E, donc son hypoténuse est [DF]. D'après le théorème de Pythagore :
DF2 = DE2 + EF2
132 = 52 + EF2
169 = 25 + EF2
EF2 = 169 − 25 = 144
EF = √144 = 12 cm.
Exemple (valeur approchée)Le triangle MNP est rectangle en N avec MN = 4 cm et NP = 7 cm. Calculer MP.
MP2 = MN2 + NP2 = 16 + 49 = 65, donc MP = √65 cm ≈ 8,1 cm (arrondi au mm).
MP2 = MN2 + NP2 = 16 + 49 = 65, donc MP = √65 cm ≈ 8,1 cm (arrondi au mm).
Exemple (problème)Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur ; son pied est à 1,4 m du mur. À quelle hauteur atteint-elle le mur ?
Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle d'hypoténuse l'échelle. h2 = 52 − 1,42 = 25 − 1,96 = 23,04, donc h = √23,04 = 4,8 m.
Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle d'hypoténuse l'échelle. h2 = 52 − 1,42 = 25 − 1,96 = 23,04, donc h = √23,04 = 4,8 m.
4. Réciproque du théorème de Pythagore
Propriété (réciproque)Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, et son hypoténuse est le plus grand côté.
Si BC2 = AB2 + AC2, alors ABC est rectangle en A.
Si BC2 = AB2 + AC2, alors ABC est rectangle en A.
Méthode (prouver qu'un triangle est rectangle)
- Repérer le plus grand côté.
- Calculer séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres.
- Comparer : si les deux résultats sont égaux, conclure avec la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle est rectangle (préciser en quel sommet).
ExempleLe triangle RST est tel que RS = 9 cm, ST = 12 cm et RT = 15 cm. Est-il rectangle ?
Le plus grand côté est [RT]. D'une part : RT2 = 152 = 225.
D'autre part : RS2 + ST2 = 81 + 144 = 225.
On constate que RT2 = RS2 + ST2. Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RST est rectangle en S.
Le plus grand côté est [RT]. D'une part : RT2 = 152 = 225.
D'autre part : RS2 + ST2 = 81 + 144 = 225.
On constate que RT2 = RS2 + ST2. Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RST est rectangle en S.
5. Contraposée : prouver qu'un triangle n'est pas rectangle
Propriété (contraposée du théorème de Pythagore)Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle.
Si BC2 ≠ AB2 + AC2 (avec [BC] le plus grand côté), alors ABC n'est pas rectangle.
Si BC2 ≠ AB2 + AC2 (avec [BC] le plus grand côté), alors ABC n'est pas rectangle.
ExempleLe triangle UVW est tel que UV = 5 cm, VW = 6 cm et UW = 8 cm. Est-il rectangle ?
Le plus grand côté est [UW]. UW2 = 64. UV2 + VW2 = 25 + 36 = 61.
64 ≠ 61, donc UW2 ≠ UV2 + VW2. Si le triangle était rectangle, l'égalité de Pythagore serait vérifiée ; elle ne l'est pas, donc le triangle UVW n'est pas rectangle.
Le plus grand côté est [UW]. UW2 = 64. UV2 + VW2 = 25 + 36 = 61.
64 ≠ 61, donc UW2 ≠ UV2 + VW2. Si le triangle était rectangle, l'égalité de Pythagore serait vérifiée ; elle ne l'est pas, donc le triangle UVW n'est pas rectangle.
Exemple (application)Un menuisier vérifie qu'un cadre de 60 cm sur 80 cm est bien « d'équerre » : il mesure la diagonale et trouve 100 cm. 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10 000 = 1002. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, l'angle est droit : le cadre est bien d'équerre. S'il avait trouvé 101 cm, le cadre aurait été déformé (contraposée).