4e · Fiche de révision

Théorème de Pythagore — fiche résumé

L'essentiel du chapitre en une page : 7 points à retenir et 2 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.

À retenir

1. Racine carrée

Définition

Soit a un nombre positif. La racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif dont le carré est égal à a : (√a)² = a.
Exemples : √25 = 5 car 5² = 25 ; √0 = 0 ; √1 = 1 ; √2,25 = 1,5.
Un nombre négatif n'a pas de racine carrée.

a	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	225
√a	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	15

Propriété

Si a est un nombre entier qui n'est pas un carré parfait, √a n'est pas un nombre décimal : on en donne une valeur approchée avec la calculatrice (touche √). Exemples : √2 ≈ 1,414 ; √10 ≈ 3,162 ; √50 ≈ 7,07. La valeur exacte est √a.

2. Vocabulaire du triangle rectangle

Définition

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus long des trois côtés. Les deux autres côtés sont les côtés de l'angle droit (ou cathètes).
Dans le triangle ABC rectangle en A, l'hypoténuse est [BC].

3. Théorème de Pythagore

Propriété (théorème de Pythagore)

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC²

4. Réciproque du théorème de Pythagore

Propriété (réciproque)

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, et son hypoténuse est le plus grand côté.
Si BC² = AB² + AC², alors ABC est rectangle en A.

5. Contraposée : prouver qu'un triangle n'est pas rectangle

Propriété (contraposée du théorème de Pythagore)

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle.
Si BC² ≠ AB² + AC² (avec [BC] le plus grand côté), alors ABC n'est pas rectangle.

Les méthodes

Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.

Méthode 1Méthode (calculer une longueur)

Annoncer : « Le triangle ABC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC². »
Remplacer les longueurs connues par leurs valeurs.
Isoler le carré de la longueur cherchée (addition pour l'hypoténuse, soustraction pour un côté de l'angle droit).
Prendre la racine carrée et donner la valeur exacte puis, si besoin, une valeur approchée avec l'unité.

Méthode 2Méthode (prouver qu'un triangle est rectangle)

Repérer le plus grand côté.
Calculer séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres.
Comparer : si les deux résultats sont égaux, conclure avec la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle est rectangle (préciser en quel sommet).

Attention : on ne doit pas écrire l'égalité BC² = AB² + AC² avant de l'avoir vérifiée.

Le cours en détail, avec les exemples → 9 exercices corrigés