Exercices corrigés — Puissances (4e)

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. (−2)⁵ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = −32 : cinq facteurs négatifs, résultat négatif.
−2⁵ = −(2 × 2 × 2 × 2 × 2) = −32 : la puissance porte sur 2, le signe est mis ensuite. Ici les deux résultats coïncident parce que l'exposant est impair ; avec un exposant pair, (−2)⁴ = 16 alors que −2⁴ = −16.
4⁻² = 14² = 116 : un exposant négatif désigne l'inverse de la puissance. 10⁻⁴ = 110⁴ = 110 000 = 0,0001.
(25)⁻¹ = inverse de 25 = 52 = 2,5. Vérification : 25 × 52 = 1.

a) 10⁵ est le chiffre 1 suivi de 5 zéros : 100 000. 10⁻³ = 11 000 = 0,001 (le 1 est au troisième rang après la virgule).
1 000 000 a 6 zéros : c'est 10⁶. 0,000 01 a son 1 au cinquième rang après la virgule : c'est 10⁻⁵.
b) Multiplier par 10³ décale la virgule de 3 rangs vers la droite : 2,7 × 10³ = 2 700. Multiplier par 10⁻² la décale de 2 rangs vers la gauche : 4,5 × 10⁻² = 0,045.
0,003 × 10⁴ : 4 rangs vers la droite, 0,003 devient 30. Contrôle : 0,003 × 10 000 = 30.

Règles : pour un produit de puissances de même base, on additionne les exposants ; pour un quotient, on les soustrait ; pour une puissance de puissance, on les multiplie.
7³ × 7⁻⁵ = 7^{3 + (−5)} = 7⁻² (soit 149).
2⁹2⁻³ = 2^{9 − (−3)} = 2¹² : soustraire −3 revient à ajouter 3. (10⁻²)⁴ = 10^{−2 × 4} = 10⁻⁸.
3² × 3⁵3⁴ = 3⁷3⁴ = 3^{7 − 4} = 3³ = 27.

a) Faux. 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 : on additionne les exposants, la base ne change pas. 4⁷ = 16 384 est bien plus grand.
b) Vrai. Deux puissances de même exposant se multiplient en multipliant les bases : 2³ × 5³ = (2 × 5)³ = 10³. Contrôle : 8 × 125 = 1 000.
c) Vrai. L'exposant 100 est pair : un nombre pair de facteurs −1 donne un produit positif, (−1)¹⁰⁰ = 1. d) Faux. Un exposant négatif désigne un inverse, pas un nombre négatif : 3⁻² = 13² = 19.
e) Vrai. 2³ + 2³ = 2 × 2³ = 2⁴ = 16. Attention : ce raisonnement ne marche que parce qu'on ajoute deux fois la même puissance de 2 ; en général, on n'additionne pas les puissances en additionnant les exposants.

Un nombre est en notation scientifique lorsqu'il s'écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif. On déplace la virgule pour obtenir un seul chiffre non nul avant elle, et l'on compte les rangs.
7 250 000 = 7,25 × 10⁶ : la virgule recule de 6 rangs, le nombre est grand, l'exposant est positif.
0,000 081 = 8,1 × 10⁻⁵ : la virgule avance de 5 rangs, le nombre est petit, l'exposant est négatif.
149,6 × 10⁶ : 149,6 n'est pas entre 1 et 10 ; 149,6 = 1,496 × 10², donc 149,6 × 10⁶ = 1,496 × 10⁸. De même 0,52 = 5,2 × 10⁻¹, donc 0,52 × 10⁻³ = 5,2 × 10⁻⁴.

On regroupe les nombres entre eux et les puissances de 10 entre elles.
E = 8 × 5 × 10⁻³ × 10⁹ = 40 × 10⁶. Or 40 n'est pas entre 1 et 10 : 40 = 4 × 10, donc E = 4 × 10⁷.
F = (63) × (10⁴10⁻²) = 2 × 10^{4 − (−2)} = 2 × 10⁶, déjà en notation scientifique.
G = 2³ × (10⁵)³ = 8 × 10¹⁵ : la puissance d'un produit est le produit des puissances, et (10⁵)³ = 10^{5 × 3} = 10¹⁵.

On convertit dans la même unité : 1 cm = 10⁻² m.
Nombre de cheveux : 10⁻²/(8 × 10⁻⁵) = (18) × 10^{−2 − (−5)} = 0,125 × 10³ = 125.
Il faut donc environ 125 cheveux, ce qui correspond à l'ordre de grandeur 10² (une centaine).
Contrôle : 125 cheveux de 0,08 mm font 125 × 0,08 = 10 mm = 1 cm.

a) Temps = distance ÷ vitesse : 1,496 × 10⁸3 × 10⁵ = (1,4963) × 10^{8 − 5} ≈ 0,4987 × 10³ ≈ 499 s.
499 s = 8 × 60 + 19, soit environ 8 min 19 s. La lumière du Soleil met un peu plus de 8 minutes pour nous atteindre.
b) On convertit : 1 g = 10⁻³ kg. Nombre d'atomes : 10⁻³/(1,67 × 10⁻²⁷) = (11,67) × 10^{−3 − (−27)} ≈ 0,6 × 10²⁴ = 6 × 10²³.
Ordre de grandeur : 6 × 10²³ atomes, soit environ 10²⁴. On vérifie que l'exposant est cohérent : diviser un très petit nombre (10⁻³) par un nombre bien plus petit encore (10⁻²⁷) donne un très grand nombre.