Puissances — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 8 points à retenir et 2 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Puissances d'exposant positif
Définition
Soit a un nombre et n un entier supérieur ou égal à 2. La puissance n-ième de a, notée an, est le produit de n facteurs tous égaux à a :
an = a × a × ... × a (n facteurs).
Le nombre n est appelé l'exposant. On lit « a exposant n » ou « a puissance n ».
Par convention : a1 = a et, pour a ≠ 0, a0 = 1.
Cas particuliers : a2 se lit « a au carré », a3 se lit « a au cube ».
an = a × a × ... × a (n facteurs).
Le nombre n est appelé l'exposant. On lit « a exposant n » ou « a puissance n ».
Par convention : a1 = a et, pour a ≠ 0, a0 = 1.
Cas particuliers : a2 se lit « a au carré », a3 se lit « a au cube ».
Propriété (signe d'une puissance)
Si a est négatif : an est positif lorsque n est pair, négatif lorsque n est impair.
Attention à la place des parenthèses : (−2)4 = 16 mais −24 = −(24) = −16.
Attention à la place des parenthèses : (−2)4 = 16 mais −24 = −(24) = −16.
2. Puissances d'exposant négatif
Définition
Soit a un nombre non nul et n un entier positif. On définit :
a−n = 1an : c'est l'inverse de an.
Exemples : 2−3 = 123 = 18 = 0,125 ; 5−1 = 15 = 0,2 ; 10−2 = 1100 = 0,01 ; (−4)−2 = 116.
a−n = 1an : c'est l'inverse de an.
Exemples : 2−3 = 123 = 18 = 0,125 ; 5−1 = 15 = 0,2 ; 10−2 = 1100 = 0,01 ; (−4)−2 = 116.
3. Règles de calcul
Propriété
Pour tous nombres a et b non nuls et tous entiers relatifs m et n :
Attention : il n'existe pas de règle pour am + an, ni pour an × bm lorsque les bases et les exposants sont différents.
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit de puissances de même base | am × an = am + n | 34 × 35 = 39 |
| Quotient de puissances de même base | aman = am − n | 7873 = 75 ; 2327 = 2−4 |
| Puissance d'une puissance | (am)n = am × n | (52)3 = 56 |
| Puissance d'un produit | (a × b)n = an × bn | (2 × 7)3 = 23 × 73 |
| Puissance d'un quotient | (ab)n = anbn | (35)2 = 925 |
4. Puissances de 10
Propriété
Pour tout entier positif n :
10n = 1 0...0 (le chiffre 1 suivi de n zéros) ; exemples : 102 = 100, 106 = 1 000 000 (un million), 109 = un milliard.
10−n = 0,0...01 (n chiffres après la virgule, le dernier étant 1) ; exemples : 10−1 = 0,1, 10−3 = 0,001, 10−6 = 0,000 001.
Les règles de calcul s'appliquent : 105 × 10−2 = 103 ; 104107 = 10−3 ; (103)2 = 106.
10n = 1 0...0 (le chiffre 1 suivi de n zéros) ; exemples : 102 = 100, 106 = 1 000 000 (un million), 109 = un milliard.
10−n = 0,0...01 (n chiffres après la virgule, le dernier étant 1) ; exemples : 10−1 = 0,1, 10−3 = 0,001, 10−6 = 0,000 001.
Les règles de calcul s'appliquent : 105 × 10−2 = 103 ; 104107 = 10−3 ; (103)2 = 106.
| Préfixe | kilo (k) | méga (M) | giga (G) | milli (m) | micro (μ) | nano (n) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Puissance de 10 | 103 | 106 | 109 | 10−3 | 10−6 | 10−9 |
5. Notation scientifique
Définition
Un nombre décimal positif est écrit en notation scientifique lorsqu'il est sous la forme
a × 10n avec 1 ≤ a < 10 (a est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule) et n un entier relatif.
Exemples : 6,02 × 1023 ; 1,5 × 10−7 ; 3 × 108. En revanche 35 × 104 ou 0,5 × 103 ne sont pas en notation scientifique.
a × 10n avec 1 ≤ a < 10 (a est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule) et n un entier relatif.
Exemples : 6,02 × 1023 ; 1,5 × 10−7 ; 3 × 108. En revanche 35 × 104 ou 0,5 × 103 ne sont pas en notation scientifique.
6. Ordre de grandeur
Définition
Un ordre de grandeur d'un nombre est une valeur approchée simple, souvent une puissance de 10 ou un petit multiple d'une puissance de 10, qui permet d'estimer rapidement un résultat.
Exemple : la masse de la Terre est d'environ 5,97 × 1024 kg ; son ordre de grandeur est 6 × 1024 kg (ou 1025 kg).
Exemple : la masse de la Terre est d'environ 5,97 × 1024 kg ; son ordre de grandeur est 6 × 1024 kg (ou 1025 kg).
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1
Pour simplifier une expression avec des puissances : on regroupe les puissances de même base, on applique les règles sur les exposants (on additionne pour un produit, on soustrait pour un quotient, on multiplie pour une puissance de puissance) et on ne calcule la valeur numérique qu'à la fin si nécessaire.
Méthode 2
Pour écrire un nombre en notation scientifique :
- déplacer la virgule pour obtenir un nombre a compris entre 1 et 10 (exclu) ;
- compter le nombre de rangs de déplacement : c'est la valeur absolue de l'exposant ;
- l'exposant est positif si le nombre de départ est supérieur ou égal à 10, négatif s'il est strictement inférieur à 1, et nul si le nombre est déjà compris entre 1 et 10.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés