Puissances — cours de 4e
Puissances d'exposant positif, Puissances d'exposant négatif, Règles de calcul, Puissances de 10 Lecture ≈ 5 min.
1. Puissances d'exposant positif
DéfinitionSoit a un nombre et n un entier supérieur ou égal à 2. La puissance n-ième de a, notée an, est le produit de n facteurs tous égaux à a :
an = a × a × ... × a (n facteurs).
Le nombre n est appelé l'exposant. On lit « a exposant n » ou « a puissance n ».
Par convention : a1 = a et, pour a ≠ 0, a0 = 1.
Cas particuliers : a2 se lit « a au carré », a3 se lit « a au cube ».
an = a × a × ... × a (n facteurs).
Le nombre n est appelé l'exposant. On lit « a exposant n » ou « a puissance n ».
Par convention : a1 = a et, pour a ≠ 0, a0 = 1.
Cas particuliers : a2 se lit « a au carré », a3 se lit « a au cube ».
Exemple25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ; 103 = 1000 ; (−3)2 = (−3) × (−3) = 9 ; (−3)3 = −27 ; 70 = 1 ; 1,52 = 2,25.
Propriété (signe d'une puissance)Si a est négatif : an est positif lorsque n est pair, négatif lorsque n est impair.
Attention à la place des parenthèses : (−2)4 = 16 mais −24 = −(24) = −16.
Attention à la place des parenthèses : (−2)4 = 16 mais −24 = −(24) = −16.
2. Puissances d'exposant négatif
DéfinitionSoit a un nombre non nul et n un entier positif. On définit :
a−n = 1an : c'est l'inverse de an.
Exemples : 2−3 = 123 = 18 = 0,125 ; 5−1 = 15 = 0,2 ; 10−2 = 1100 = 0,01 ; (−4)−2 = 116.
a−n = 1an : c'est l'inverse de an.
Exemples : 2−3 = 123 = 18 = 0,125 ; 5−1 = 15 = 0,2 ; 10−2 = 1100 = 0,01 ; (−4)−2 = 116.
3. Règles de calcul
PropriétéPour tous nombres a et b non nuls et tous entiers relatifs m et n :
Attention : il n'existe pas de règle pour am + an, ni pour an × bm lorsque les bases et les exposants sont différents.
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit de puissances de même base | am × an = am + n | 34 × 35 = 39 |
| Quotient de puissances de même base | aman = am − n | 7873 = 75 ; 2327 = 2−4 |
| Puissance d'une puissance | (am)n = am × n | (52)3 = 56 |
| Puissance d'un produit | (a × b)n = an × bn | (2 × 7)3 = 23 × 73 |
| Puissance d'un quotient | (ab)n = anbn | (35)2 = 925 |
ExempleÉcrire sous la forme d'une seule puissance :
A = 23 × 2−7 × 26 = 23 + (−7) + 6 = 22 = 4.
B = 545−2 = 54 − (−2) = 56.
C = (32)−4 × 310 = 3−8 × 310 = 32 = 9.
A = 23 × 2−7 × 26 = 23 + (−7) + 6 = 22 = 4.
B = 545−2 = 54 − (−2) = 56.
C = (32)−4 × 310 = 3−8 × 310 = 32 = 9.
MéthodePour simplifier une expression avec des puissances : on regroupe les puissances de même base, on applique les règles sur les exposants (on additionne pour un produit, on soustrait pour un quotient, on multiplie pour une puissance de puissance) et on ne calcule la valeur numérique qu'à la fin si nécessaire.
4. Puissances de 10
PropriétéPour tout entier positif n :
10n = 1 0...0 (le chiffre 1 suivi de n zéros) ; exemples : 102 = 100, 106 = 1 000 000 (un million), 109 = un milliard.
10−n = 0,0...01 (n chiffres après la virgule, le dernier étant 1) ; exemples : 10−1 = 0,1, 10−3 = 0,001, 10−6 = 0,000 001.
Les règles de calcul s'appliquent : 105 × 10−2 = 103 ; 104107 = 10−3 ; (103)2 = 106.
10n = 1 0...0 (le chiffre 1 suivi de n zéros) ; exemples : 102 = 100, 106 = 1 000 000 (un million), 109 = un milliard.
10−n = 0,0...01 (n chiffres après la virgule, le dernier étant 1) ; exemples : 10−1 = 0,1, 10−3 = 0,001, 10−6 = 0,000 001.
Les règles de calcul s'appliquent : 105 × 10−2 = 103 ; 104107 = 10−3 ; (103)2 = 106.
| Préfixe | kilo (k) | méga (M) | giga (G) | milli (m) | micro (μ) | nano (n) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Puissance de 10 | 103 | 106 | 109 | 10−3 | 10−6 | 10−9 |
ExempleMultiplier par 10n décale la virgule de n rangs vers la droite ; multiplier par 10−n la décale de n rangs vers la gauche.
3,52 × 104 = 35 200 ; 3,52 × 10−3 = 0,003 52 ; 0,07 × 105 = 7 000.
3,52 × 104 = 35 200 ; 3,52 × 10−3 = 0,003 52 ; 0,07 × 105 = 7 000.
5. Notation scientifique
DéfinitionUn nombre décimal positif est écrit en notation scientifique lorsqu'il est sous la forme
a × 10n avec 1 ≤ a < 10 (a est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule) et n un entier relatif.
Exemples : 6,02 × 1023 ; 1,5 × 10−7 ; 3 × 108. En revanche 35 × 104 ou 0,5 × 103 ne sont pas en notation scientifique.
a × 10n avec 1 ≤ a < 10 (a est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule) et n un entier relatif.
Exemples : 6,02 × 1023 ; 1,5 × 10−7 ; 3 × 108. En revanche 35 × 104 ou 0,5 × 103 ne sont pas en notation scientifique.
MéthodePour écrire un nombre en notation scientifique :
- déplacer la virgule pour obtenir un nombre a compris entre 1 et 10 (exclu) ;
- compter le nombre de rangs de déplacement : c'est la valeur absolue de l'exposant ;
- l'exposant est positif si le nombre de départ est supérieur ou égal à 10, négatif s'il est strictement inférieur à 1, et nul si le nombre est déjà compris entre 1 et 10.
Exemple
- 45 800 000 = 4,58 × 107 (la virgule est déplacée de 7 rangs vers la gauche).
- 0,000 63 = 6,3 × 10−4 (la virgule est déplacée de 4 rangs vers la droite).
- 384 400 km (distance Terre-Lune) = 3,844 × 105 km.
ExempleCalculer D = (3 × 105) × (4 × 10−2) et donner le résultat en notation scientifique.
D = 3 × 4 × 105 × 10−2 = 12 × 103 = 1,2 × 101 × 103 = 1,2 × 104.
D = 3 × 4 × 105 × 10−2 = 12 × 103 = 1,2 × 101 × 103 = 1,2 × 104.
6. Ordre de grandeur
DéfinitionUn ordre de grandeur d'un nombre est une valeur approchée simple, souvent une puissance de 10 ou un petit multiple d'une puissance de 10, qui permet d'estimer rapidement un résultat.
Exemple : la masse de la Terre est d'environ 5,97 × 1024 kg ; son ordre de grandeur est 6 × 1024 kg (ou 1025 kg).
Exemple : la masse de la Terre est d'environ 5,97 × 1024 kg ; son ordre de grandeur est 6 × 1024 kg (ou 1025 kg).
ExempleLa lumière parcourt environ 3 × 108 m par seconde. Ordre de grandeur de la distance parcourue en une année (environ 3,15 × 107 s) :
3 × 108 × 3 × 107 = 9 × 1015 m, soit environ 1016 m (c'est l'ordre de grandeur d'une année-lumière, environ 9,5 × 1015 m).
3 × 108 × 3 × 107 = 9 × 1015 m, soit environ 1016 m (c'est l'ordre de grandeur d'une année-lumière, environ 9,5 × 1015 m).