Exercices corrigés — Géométrie dans l'espace : pyramides et cônes (4e)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Découverte ». Voir les 8 exercices.

Exercice 1 Découverte

Une pyramide a une base carrée de côté 5 cm et une hauteur de 7,2 cm. Calculer son volume.

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Correction détaillée

Le volume d'une pyramide est le tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur : V = aire de la base × hauteur3.
Aire de la base carrée : 5 × 5 = 25 cm².
V = 25 × 7,23 = 1803 = 60 cm³.
Ordre de grandeur : le pavé droit de même base et de même hauteur a un volume de 180 cm³ ; la pyramide en occupe le tiers.

Exercice 2 Découverte

a) Une pyramide a pour base un hexagone. Combien a-t-elle de faces, de sommets et d'arêtes ? De quelles figures son patron est-il formé ? b) Un cône a un rayon de 2 cm et une génératrice de 6 cm. Décrire son patron et calculer l'angle du secteur de disque.

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Correction détaillée

a) Une pyramide dont la base a n côtés possède n + 1 faces, n + 1 sommets et 2n arêtes. Avec n = 6 : 7 faces (l'hexagone et 6 triangles), 7 sommets (les 6 de la base et le sommet de la pyramide) et 12 arêtes (6 pour la base, 6 latérales).
Son patron est formé de l'hexagone de base et de 6 triangles accolés à ses côtés ; si la pyramide est régulière, ces triangles sont isocèles et superposables.
b) Le patron du cône est formé du disque de base, de rayon 2 cm, et d'un secteur de disque de rayon égal à la génératrice, 6 cm. La longueur de l'arc du secteur est égale au périmètre de la base : 2π × 2 = 4π cm.
Le cercle complet de rayon 6 cm mesure 2π × 6 = 12π cm ; le secteur en représente 4π/12π = 13. Son angle est donc 360 × 13 = 120°.

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