Exercices corrigés — Géométrie dans l'espace : pyramides et cônes (4e)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Challenge ». Voir les 8 exercices.

Exercice 7 Challenge

SABCD est une pyramide régulière de sommet S : sa base est le carré ABCD de côté 8 cm, de centre O, et sa hauteur SO mesure 3 cm. On note I le milieu de [AB]. a) Calculer le volume de la pyramide. b) Calculer SI. c) En déduire l'aire de la face SAB, puis l'aire totale de la pyramide.

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Correction détaillée

a) Aire de la base : 8 × 8 = 64 cm². Volume : V = 64 × 33 = 64 cm³.
b) O est le centre du carré et I le milieu de [AB] : OI est la moitié du côté, OI = 4 cm, et (OI) est perpendiculaire à (AB). La hauteur (SO) est perpendiculaire à la base, donc le triangle SOI est rectangle en O. D'après le théorème de Pythagore : SI² = SO² + OI² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc SI = 5 cm.
c) Dans la face SAB, triangle isocèle en S, [SI] est la hauteur relative à [AB]. Aire de SAB = AB × SI2 = 8 × 52 = 20 cm².
Les 4 faces latérales sont superposables (pyramide régulière) : aire latérale 4 × 20 = 80 cm². Aire totale = 80 + 64 = 144 cm².

Exercice 8 Challenge

Un cône de rayon 9 cm et de hauteur 12 cm est coupé par un plan parallèle à sa base, à 4 cm du sommet. a) Quel est le rapport de réduction ? Quel est le rayon du disque de section ? b) Calculer le volume du petit cône obtenu, puis celui du tronc de cône restant (valeurs exactes, puis arrondies à l'unité).

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Correction détaillée

a) La section est faite à 4 cm du sommet, la hauteur totale est 12 cm : le petit cône est une réduction du grand de rapport k = 412 = 13.
Toutes les longueurs sont multipliées par 13 : le rayon de la section est 9 × 13 = 3 cm.
b) Petit cône : V = (13) × π × 3² × 4 = (13) × 36π = 12π cm³ ≈ 38 cm³. Grand cône : V = (13) × π × 9² × 12 = (13) × 972π = 324π cm³.
Tronc de cône : 324π − 12π = 312π cm³ ≈ 980 cm³. Contrôle : le volume du petit cône est le volume du grand multiplié par k³ = (13)³ = 127, et 324π/27 = 12π. Le petit cône, pourtant haut du tiers, n'occupe qu'un vingt-septième du volume.

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