Géométrie dans l'espace : pyramides et cônes — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 10 points à retenir et 1 méthode. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Rappels : solides connus
| Solide | Description | Volume |
|---|---|---|
| Pavé droit (a × b × c) | 6 faces rectangulaires | V = a × b × c |
| Cube d'arête a | 6 faces carrées | V = a3 |
| Prisme droit | 2 bases polygonales superposables et parallèles, faces latérales rectangulaires | V = aire de la base × hauteur |
| Cylindre de révolution | 2 disques de rayon r, hauteur h | V = π × r2 × h |
2. Pyramides
Définition
Une pyramide est un solide constitué :
Une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont le pied de la hauteur est le centre de la base est une pyramide régulière : ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables. Une pyramide à base triangulaire s'appelle un tétraèdre.
- d'une base qui est un polygone (triangle, carré, rectangle, hexagone...) ;
- de faces latérales qui sont des triangles ayant un sommet commun, appelé le sommet de la pyramide.
Une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont le pied de la hauteur est le centre de la base est une pyramide régulière : ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables. Une pyramide à base triangulaire s'appelle un tétraèdre.
Propriété
Une pyramide dont la base a n côtés possède n + 1 faces, n + 1 sommets et 2n arêtes.
Exemple : pyramide à base carrée (comme les pyramides d'Égypte) : 5 faces (1 carré + 4 triangles), 5 sommets, 8 arêtes.
Exemple : pyramide à base carrée (comme les pyramides d'Égypte) : 5 faces (1 carré + 4 triangles), 5 sommets, 8 arêtes.
Définition
Le patron d'une pyramide est une figure plane, d'un seul tenant, qui permet de reconstituer la pyramide par pliage. Il est formé du polygone de base et des triangles des faces latérales, accolés aux côtés de la base.
3. Cônes de révolution
Définition
Un cône de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit. Il est constitué :
- d'une base qui est un disque de rayon r ;
- d'un sommet S situé sur la perpendiculaire à la base passant par son centre O ;
- d'une surface latérale.
Propriété
Le triangle SOM (avec M un point du cercle de base) est rectangle en O, donc d'après le théorème de Pythagore : g2 = h2 + r2
Définition
Le patron d'un cône est formé d'un disque (la base) et d'un secteur de disque de rayon g (la surface latérale). La longueur de l'arc du secteur est égale au périmètre de la base : 2πr.
4. Volume d'une pyramide et d'un cône
Propriété
Le volume V d'une pyramide ou d'un cône est le tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur :
V = (13) × aire de la base × hauteur = B × h3.
Pour un cône de rayon r et de hauteur h : V = (13) × π × r2 × h.
Remarque : une pyramide (ou un cône) a un volume trois fois plus petit que le prisme (ou le cylindre) de même base et de même hauteur.
V = (13) × aire de la base × hauteur = B × h3.
Pour un cône de rayon r et de hauteur h : V = (13) × π × r2 × h.
Remarque : une pyramide (ou un cône) a un volume trois fois plus petit que le prisme (ou le cylindre) de même base et de même hauteur.
5. Sections planes (première approche)
Propriété
La section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base est une réduction de la base : un polygone de même forme pour la pyramide, un disque pour le cône. La petite pyramide (ou le petit cône) ainsi découpée est une réduction de la pyramide (du cône) de départ.
Si la section est faite à une distance h' du sommet (avec h la hauteur totale), le rapport de réduction est k = h'/h : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k2 et les volumes par k3.
Si la section est faite à une distance h' du sommet (avec h la hauteur totale), le rapport de réduction est k = h'/h : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k2 et les volumes par k3.
6. Conversions d'unités de volume
Propriété
- 1 m3 = 1 000 dm3 ; 1 dm3 = 1 000 cm3 ; 1 cm3 = 1 000 mm3. Chaque changement d'unité multiplie ou divise par 1 000 (103).
- 1 L = 1 dm3 ; 1 mL = 1 cm3 ; 1 m3 = 1 000 L.
| m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| hL | daL | L | dL | cL | mL | ||||
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Méthode (représenter une pyramide en perspective cavalière)
On dessine la base « aplatie » (un carré devient un parallélogramme), on place le sommet, on relie le sommet à chaque sommet de la base. Les arêtes cachées sont tracées en pointillés. Les longueurs sur les fuyantes sont réduites (souvent de moitié) et les angles ne sont pas conservés, mais le parallélisme et les milieux le sont.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés