Exercices corrigés — Géométrie dans l'espace : pyramides et cônes (4e)

Le volume d'une pyramide est le tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur : V = aire de la base × hauteur3.
Aire de la base carrée : 5 × 5 = 25 cm².
V = 25 × 7,23 = 1803 = 60 cm³.
Ordre de grandeur : le pavé droit de même base et de même hauteur a un volume de 180 cm³ ; la pyramide en occupe le tiers.

a) Une pyramide dont la base a n côtés possède n + 1 faces, n + 1 sommets et 2n arêtes. Avec n = 6 : 7 faces (l'hexagone et 6 triangles), 7 sommets (les 6 de la base et le sommet de la pyramide) et 12 arêtes (6 pour la base, 6 latérales).
Son patron est formé de l'hexagone de base et de 6 triangles accolés à ses côtés ; si la pyramide est régulière, ces triangles sont isocèles et superposables.
b) Le patron du cône est formé du disque de base, de rayon 2 cm, et d'un secteur de disque de rayon égal à la génératrice, 6 cm. La longueur de l'arc du secteur est égale au périmètre de la base : 2π × 2 = 4π cm.
Le cercle complet de rayon 6 cm mesure 2π × 6 = 12π cm ; le secteur en représente 4π/12π = 13. Son angle est donc 360 × 13 = 120°.

Le rayon est la moitié du diamètre : r = 8 ÷ 2 = 4 cm.
Volume d'un cône : V = (13) × π × r² × h = (13) × π × 16 × 9 = (13) × 144π = 48π cm³ (valeur exacte).
Valeur approchée : 48π ≈ 150,8 cm³.
Conversion : 1 cm³ = 1 mL, donc V ≈ 150,8 mL ; comme 1 cL = 10 mL, V ≈ 15,1 cL. Erreur classique : utiliser le diamètre 8 à la place du rayon, ce qui quadruplerait le volume.

Pour les volumes, chaque changement d'unité multiplie ou divise par 1 000 ; de plus 1 L = 1 dm³ et 1 mL = 1 cm³.
3,2 dm³ = 3,2 × 1 000 = 3 200 cm³.
4 500 L = 4 500 dm³ = 4 500 ÷ 1 000 = 4,5 m³.
75 cL = 750 mL = 750 cm³. 0,25 m³ = 0,25 × 1 000 = 250 dm³ = 250 L.

Le triangle formé par la hauteur, le rayon et la génératrice est rectangle au centre de la base. D'après le théorème de Pythagore : g² = h² + r², soit 10² = h² + 6².
h² = 100 − 36 = 64, donc h = 8 cm (h est une longueur, positive).
Volume : V = (13) × π × 6² × 8 = (13) × π × 288 = 96π cm³.
Valeur approchée : 96π ≈ 301,6 cm³. Attention : c'est la hauteur qui intervient dans la formule du volume, pas la génératrice.

On part de la formule V = aire de la base × h3 et l'on remplace ce que l'on connaît : 40 = 15 × h3.
On multiplie les deux membres par 3 : 15 × h = 120.
On divise par 15 : h = 120 ÷ 15 = 8 cm.
Vérification : 15 × 83 = 1203 = 40 cm³. Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire : la même formule s'applique.

a) Aire de la base : 8 × 8 = 64 cm². Volume : V = 64 × 33 = 64 cm³.
b) O est le centre du carré et I le milieu de [AB] : OI est la moitié du côté, OI = 4 cm, et (OI) est perpendiculaire à (AB). La hauteur (SO) est perpendiculaire à la base, donc le triangle SOI est rectangle en O. D'après le théorème de Pythagore : SI² = SO² + OI² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc SI = 5 cm.
c) Dans la face SAB, triangle isocèle en S, [SI] est la hauteur relative à [AB]. Aire de SAB = AB × SI2 = 8 × 52 = 20 cm².
Les 4 faces latérales sont superposables (pyramide régulière) : aire latérale 4 × 20 = 80 cm². Aire totale = 80 + 64 = 144 cm².

a) La section est faite à 4 cm du sommet, la hauteur totale est 12 cm : le petit cône est une réduction du grand de rapport k = 412 = 13.
Toutes les longueurs sont multipliées par 13 : le rayon de la section est 9 × 13 = 3 cm.
b) Petit cône : V = (13) × π × 3² × 4 = (13) × 36π = 12π cm³ ≈ 38 cm³. Grand cône : V = (13) × π × 9² × 12 = (13) × 972π = 324π cm³.
Tronc de cône : 324π − 12π = 312π cm³ ≈ 980 cm³. Contrôle : le volume du petit cône est le volume du grand multiplié par k³ = (13)³ = 127, et 324π/27 = 12π. Le petit cône, pourtant haut du tiers, n'occupe qu'un vingt-septième du volume.