Géométrie dans l'espace : pyramides et cônes — cours de 4e
Rappels, Pyramides, Cônes de révolution, Volume d'une pyramide et d'un cône Lecture ≈ 6 min.
1. Rappels : solides connus
| Solide | Description | Volume |
|---|---|---|
| Pavé droit (a × b × c) | 6 faces rectangulaires | V = a × b × c |
| Cube d'arête a | 6 faces carrées | V = a3 |
| Prisme droit | 2 bases polygonales superposables et parallèles, faces latérales rectangulaires | V = aire de la base × hauteur |
| Cylindre de révolution | 2 disques de rayon r, hauteur h | V = π × r2 × h |
2. Pyramides
DéfinitionUne pyramide est un solide constitué :
Une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont le pied de la hauteur est le centre de la base est une pyramide régulière : ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables. Une pyramide à base triangulaire s'appelle un tétraèdre.
- d'une base qui est un polygone (triangle, carré, rectangle, hexagone...) ;
- de faces latérales qui sont des triangles ayant un sommet commun, appelé le sommet de la pyramide.
Une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont le pied de la hauteur est le centre de la base est une pyramide régulière : ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables. Une pyramide à base triangulaire s'appelle un tétraèdre.
PropriétéUne pyramide dont la base a n côtés possède n + 1 faces, n + 1 sommets et 2n arêtes.
Exemple : pyramide à base carrée (comme les pyramides d'Égypte) : 5 faces (1 carré + 4 triangles), 5 sommets, 8 arêtes.
Exemple : pyramide à base carrée (comme les pyramides d'Égypte) : 5 faces (1 carré + 4 triangles), 5 sommets, 8 arêtes.
DéfinitionLe patron d'une pyramide est une figure plane, d'un seul tenant, qui permet de reconstituer la pyramide par pliage. Il est formé du polygone de base et des triangles des faces latérales, accolés aux côtés de la base.
Patron d'une pyramide régulière à base carrée :
/\
/ \
/ \
______/______\______
\ | | /
\ | | /
\ | base | /
\ | | /
\_|______|_/
\ /
\ /
\/
Méthode (représenter une pyramide en perspective cavalière)On dessine la base « aplatie » (un carré devient un parallélogramme), on place le sommet, on relie le sommet à chaque sommet de la base. Les arêtes cachées sont tracées en pointillés. Les longueurs sur les fuyantes sont réduites (souvent de moitié) et les angles ne sont pas conservés, mais le parallélisme et les milieux le sont.
3. Cônes de révolution
DéfinitionUn cône de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit. Il est constitué :
- d'une base qui est un disque de rayon r ;
- d'un sommet S situé sur la perpendiculaire à la base passant par son centre O ;
- d'une surface latérale.
PropriétéLe triangle SOM (avec M un point du cercle de base) est rectangle en O, donc d'après le théorème de Pythagore : g2 = h2 + r2
DéfinitionLe patron d'un cône est formé d'un disque (la base) et d'un secteur de disque de rayon g (la surface latérale). La longueur de l'arc du secteur est égale au périmètre de la base : 2πr.
ExempleUn cône a pour rayon r = 3 cm et pour hauteur h = 4 cm. Longueur d'une génératrice : g2 = 16 + 9 = 25, g = 5 cm. Dans le patron, le secteur a un rayon de 5 cm et son arc mesure 2π × 3 = 6π ≈ 18,8 cm. L'angle du secteur vaut 6π2π × 5 × 360° = 35 × 360° = 216°.
4. Volume d'une pyramide et d'un cône
PropriétéLe volume V d'une pyramide ou d'un cône est le tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur :
V = (13) × aire de la base × hauteur = B × h3.
Pour un cône de rayon r et de hauteur h : V = (13) × π × r2 × h.
Remarque : une pyramide (ou un cône) a un volume trois fois plus petit que le prisme (ou le cylindre) de même base et de même hauteur.
V = (13) × aire de la base × hauteur = B × h3.
Pour un cône de rayon r et de hauteur h : V = (13) × π × r2 × h.
Remarque : une pyramide (ou un cône) a un volume trois fois plus petit que le prisme (ou le cylindre) de même base et de même hauteur.
ExempleUne pyramide a pour base un rectangle de 6 cm sur 4 cm et une hauteur de 9 cm. Calculer son volume.
Aire de la base : 6 × 4 = 24 cm2. V = 24 × 93 = 2163 = 72 cm3.
Aire de la base : 6 × 4 = 24 cm2. V = 24 × 93 = 2163 = 72 cm3.
ExempleUn cône a un rayon de 5 cm et une hauteur de 12 cm. Calculer son volume (valeur exacte puis arrondie au cm3).
V = (13) × π × 52 × 12 = (13) × π × 300 = 100π cm3 ≈ 314 cm3.
V = (13) × π × 52 × 12 = (13) × π × 300 = 100π cm3 ≈ 314 cm3.
Exemple (pyramide de Khéops)La pyramide de Khéops a une base carrée de 230 m de côté et une hauteur de 137 m (hauteur actuelle). Volume : V = 2302 × 1373 = 52 900 × 1373 = 7 247 3003 ≈ 2 415 767 m3, soit environ 2,4 × 106 m3.
Exemple (calcul de la hauteur)Une pyramide régulière SABCD a pour base le carré ABCD de côté 6 cm et ses arêtes latérales mesurent SA = SB = SC = SD = 9 cm. Calculer sa hauteur SO (O centre du carré).
La diagonale du carré : AC2 = 36 + 36 = 72, AC = √72 cm, donc AO = √722 ≈ 4,24 cm et AO2 = 724 = 18.
Le triangle SOA est rectangle en O : SO2 = SA2 − AO2 = 81 − 18 = 63, SO = √63 ≈ 7,9 cm.
Volume : V = 36 × √633 = 12√63 ≈ 95 cm3.
La diagonale du carré : AC2 = 36 + 36 = 72, AC = √72 cm, donc AO = √722 ≈ 4,24 cm et AO2 = 724 = 18.
Le triangle SOA est rectangle en O : SO2 = SA2 − AO2 = 81 − 18 = 63, SO = √63 ≈ 7,9 cm.
Volume : V = 36 × √633 = 12√63 ≈ 95 cm3.
5. Sections planes (première approche)
PropriétéLa section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base est une réduction de la base : un polygone de même forme pour la pyramide, un disque pour le cône. La petite pyramide (ou le petit cône) ainsi découpée est une réduction de la pyramide (du cône) de départ.
Si la section est faite à une distance h' du sommet (avec h la hauteur totale), le rapport de réduction est k = h'/h : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k2 et les volumes par k3.
Si la section est faite à une distance h' du sommet (avec h la hauteur totale), le rapport de réduction est k = h'/h : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k2 et les volumes par k3.
ExempleUn cône de rayon 6 cm et de hauteur 10 cm est coupé par un plan parallèle à la base, à 5 cm du sommet. Rapport de réduction : k = 510 = 12. Le rayon de la section est 6 × 12 = 3 cm. Le volume du petit cône vaut (12)3 = 18 du volume du grand cône : grand cône : (13)π × 36 × 10 = 120π cm3 ; petit cône : 15π cm3 (vérification : (13)π × 9 × 5 = 15π).
6. Conversions d'unités de volume
Propriété
Chaque unité de volume occupe trois colonnes dans le tableau de conversion.
- 1 m3 = 1 000 dm3 ; 1 dm3 = 1 000 cm3 ; 1 cm3 = 1 000 mm3. Chaque changement d'unité multiplie ou divise par 1 000 (103).
- 1 L = 1 dm3 ; 1 mL = 1 cm3 ; 1 m3 = 1 000 L.
| m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| hL | daL | L | dL | cL | mL | ||||
Exemple2,5 m3 = 2 500 dm3 = 2 500 L. 350 cm3 = 0,35 dm3 = 0,35 L = 35 cL. 0,04 m3 = 40 L.
Un cône de volume 314 cm3 contient environ 314 mL, soit 0,314 L.
Un cône de volume 314 cm3 contient environ 314 mL, soit 0,314 L.