Exercices corrigés — Équations (4e)

On isole x en effectuant la même opération sur les deux membres (image de la balance).
a) 7x + 4 = 25. On soustrait 4 : 7x = 21. On divise par 7 : x = 3. Vérification : 7 × 3 + 4 = 25. La solution est 3.
b) 3x − 8 = −x + 12. On ajoute x : 4x − 8 = 12. On ajoute 8 : 4x = 20. On divise par 4 : x = 5. Vérification : 3 × 5 − 8 = 7 et −5 + 12 = 7. La solution est 5.
c) 9 − 2x = 4x − 6. On ajoute 2x : 9 = 6x − 6. On ajoute 6 : 15 = 6x. On divise par 6 : x = 156 = 2,5. Vérification : 9 − 2 × 2,5 = 4 et 4 × 2,5 − 6 = 4. La solution est 2,5.

Pour tester si un nombre est solution, on calcule séparément les deux membres avec ce nombre et l'on compare.
a) Pour x = 3 : 5 × 3 − 4 = 11 et 2 × 3 + 5 = 11. Les deux membres sont égaux : 3 est solution. Pour x = −1 : 5 × (−1) − 4 = −9 et 2 × (−1) + 5 = 3. Les membres diffèrent : −1 n'est pas solution.
b) Pour x = 3 : 3² = 9 et 2 × 3 + 3 = 9 : 3 est solution. Pour x = −1 : (−1)² = 1 et 2 × (−1) + 3 = 1 : −1 est aussi solution.
L'équation x² = 2x + 3 a donc au moins deux solutions, 3 et −1. Une équation peut avoir plusieurs solutions ; tester un nombre ne renseigne que sur ce nombre.

On développe d'abord chaque membre. Membre de gauche : 3(2x − 1) = 6x − 3. Membre de droite : 5(x + 2) − 4 = 5x + 10 − 4 = 5x + 6.
L'équation devient 6x − 3 = 5x + 6. On soustrait 5x des deux côtés : x − 3 = 6. On ajoute 3 : x = 9.
Vérification dans l'équation de départ : 3 × (2 × 9 − 1) = 3 × 17 = 51 et 5 × (9 + 2) − 4 = 55 − 4 = 51.
La solution est 9.

a) x4 − 3 = 2. On ajoute 3 aux deux membres : x4 = 5. Diviser par 4 donne 5, donc x = 5 × 4 = 20 (on multiplie les deux membres par 4).
Vérification : 204 − 3 = 5 − 3 = 2. La solution est 20.
b) 3x/5 − 1 = 2. On ajoute 1 : 3x/5 = 3. On multiplie par 5 : 3x = 15. On divise par 3 : x = 5.
Vérification : 3 × 55 − 1 = 3 − 1 = 2. La solution est 5.

a) 2(3x + 1) = 6x + 5 devient 6x + 2 = 6x + 5. En soustrayant 6x des deux côtés : 2 = 5, ce qui est faux. Aucune valeur de x ne convient : l'équation n'a pas de solution.
b) 4(x − 2) = 4x − 8 devient 4x − 8 = 4x − 8 : les deux membres sont identiques, l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de x. Tous les nombres sont solutions.
c) 5 − (x − 2) = 3x − 1. On supprime la parenthèse en changeant les signes : 5 − x + 2 = 3x − 1, soit 7 − x = 3x − 1. On ajoute x : 7 = 4x − 1. On ajoute 1 : 8 = 4x. Donc x = 2.
Vérification : 5 − (2 − 2) = 5 et 3 × 2 − 1 = 5. La solution est 2.

Choix de l'inconnue : soit x le plus petit des trois nombres. Les deux suivants sont x + 1 et x + 2 (entiers consécutifs).
Mise en équation : x + (x + 1) + (x + 2) = 96, soit 3x + 3 = 96.
Résolution : 3x = 93, donc x = 31.
Vérification et conclusion : 31 + 32 + 33 = 96. Les trois nombres sont 31, 32 et 33. Remarque : le nombre du milieu est 96 ÷ 3 = 32, la moyenne des trois.

Soit x le nombre de séances. Avec l'abonnement, le coût est 30 + 4x (en euros) ; sans abonnement, il est 9x.
Les deux formules coûtent autant lorsque 30 + 4x = 9x. On soustrait 4x : 30 = 5x. Donc x = 6.
Vérification : pour 6 séances, 30 + 4 × 6 = 54 € et 9 × 6 = 54 €, les deux coûts sont égaux.
Au-delà, chaque séance supplémentaire coûte 4 € avec l'abonnement contre 9 € sans : pour 7 séances, 58 € contre 63 €. L'abonnement est rentable à partir de 7 séances.

a) Soit x la longueur (en cm) de chacun des deux côtés égaux. La base mesure x − 4. Périmètre : x + x + (x − 4) = 32, soit 3x − 4 = 32.
3x = 36, donc x = 12. Les côtés égaux mesurent 12 cm et la base 12 − 4 = 8 cm. Vérification : 12 + 12 + 8 = 32 cm, et le triangle existe car 12 < 12 + 8.
b) Soit x l'âge actuel de la fille (en années). Marc a 3x ans. Dans 12 ans, la fille aura x + 12 ans et Marc 3x + 12 ans ; l'énoncé donne 3x + 12 = 2(x + 12).
3x + 12 = 2x + 24. On soustrait 2x : x + 12 = 24. Donc x = 12. Vérification : la fille a 12 ans et Marc 36 ans ; dans 12 ans, 24 ans et 48 ans, et 48 = 2 × 24. La fille a 12 ans.