Équations — cours de 4e

Vocabulaire, Règles de transformation d'une équation, Résolution d'une équation du premier degré, Mise en équation d'un problème Lecture ≈ 4 min.

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1. Vocabulaire

DéfinitionUne équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu, désigné par une lettre (souvent x). Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie. Ces valeurs sont les solutions de l'équation.
Exemple : 3 est solution de l'équation 2x + 1 = 7 car 2 × 3 + 1 = 7. Le nombre 5 n'est pas solution car 2 × 5 + 1 = 11 ≠ 7.

2. Règles de transformation d'une équation

PropriétéOn obtient une équation qui a les mêmes solutions lorsque :

on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres ;
on multiplie ou on divise les deux membres par un même nombre non nul.

Image de la balance : l'équation est une balance en équilibre ; toute opération faite sur un plateau doit être faite sur l'autre pour conserver l'équilibre.

3. Résolution d'une équation du premier degré

MéthodePour résoudre une équation du type ax + b = cx + d :

si nécessaire, développer et réduire chaque membre ;
regrouper les termes en x dans un membre (en ajoutant ou soustrayant le même terme en x des deux côtés) ;
regrouper les nombres dans l'autre membre ;
diviser les deux membres par le coefficient de x ;
vérifier en remplaçant x par la valeur trouvée dans l'équation de départ ;
conclure par une phrase.

ExempleRésoudre 5x − 7 = 3x + 9.
5x − 7 − 3x = 3x + 9 − 3x (on soustrait 3x des deux côtés)
2x − 7 = 9
2x − 7 + 7 = 9 + 7 (on ajoute 7 des deux côtés)
2x = 16
x = 162 = 8
Vérification : 5 × 8 − 7 = 33 et 3 × 8 + 9 = 33. L'égalité est vraie.
La solution de l'équation est 8.

ExempleRésoudre 4(x − 2) = 7x + 1.
4x − 8 = 7x + 1 (développement)
4x − 8 − 7x = 1
−3x − 8 = 1
−3x = 9
x = 9−3 = −3
Vérification : 4 × (−3 − 2) = 4 × (−5) = −20 et 7 × (−3) + 1 = −20.
La solution est −3.

ExempleRésoudre 2x/3 + 1 = 5.
2x/3 = 4, donc 2x = 12, donc x = 6. Vérification : 2 × 63 + 1 = 4 + 1 = 5. La solution est 6.

Propriété (cas particuliers)

Si l'on aboutit à une égalité fausse sans x (par exemple 0x = 5, soit 0 = 5), l'équation n'a aucune solution. Exemple : 2x + 3 = 2x + 8.
Si l'on aboutit à une égalité toujours vraie (par exemple 0 = 0), tous les nombres sont solutions. Exemple : 3(x + 1) = 3x + 3.

4. Mise en équation d'un problème

MéthodePour résoudre un problème à l'aide d'une équation :

Choix de l'inconnue : on désigne par x la quantité cherchée (préciser l'unité).
Mise en équation : on traduit l'énoncé par une égalité faisant intervenir x.
Résolution de l'équation.
Vérification avec les données de l'énoncé et conclusion par une phrase répondant à la question.

ExempleLéa a 18 ans de moins que sa mère. Dans 4 ans, sa mère aura le double de son âge. Quel est l'âge de Léa ?
Soit x l'âge de Léa aujourd'hui (en années). Sa mère a x + 18 ans.
Dans 4 ans : Léa aura x + 4 ans, sa mère x + 22 ans. L'énoncé donne : x + 22 = 2(x + 4).
x + 22 = 2x + 8 ; 22 − 8 = 2x − x ; x = 14.
Vérification : Léa a 14 ans, sa mère 32 ans. Dans 4 ans : 18 ans et 36 ans, et 36 = 2 × 18.
Léa a 14 ans.

ExempleUn rectangle a un périmètre de 46 cm. Sa longueur mesure 5 cm de plus que sa largeur. Quelles sont ses dimensions ?
Soit x la largeur en cm. La longueur vaut x + 5. Périmètre : 2(x + x + 5) = 46.
2(2x + 5) = 46 ; 4x + 10 = 46 ; 4x = 36 ; x = 9.
Vérification : largeur 9 cm, longueur 14 cm, périmètre 2 × (9 + 14) = 46 cm.
Le rectangle mesure 9 cm sur 14 cm.

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